与えられた連立微分方程式を初期条件 $x(0) = 1$、$y(0) = 0$ の下で解く問題です。 連立微分方程式は次の通りです。 $\frac{dx}{dt} = y$ $\frac{dy}{dt} = -8x - 6y$

1. 問題の内容

与えられた連立微分方程式を初期条件 $x(0) = 1$、$y(0) = 0$ の下で解く問題です。

連立微分方程式は次の通りです。

$\frac{dx}{dt} = y$

$\frac{dy}{dt} = -8x - 6y$

2. 解き方の手順

与えられた連立微分方程式を解くために、まず一方の式からもう一方の式に代入して、一つの2階微分方程式を導出します。

$\frac{dx}{dt} = y$ より、 $\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dy}{dt}$ となります。

$\frac{dy}{dt} = -8x - 6y$ に $\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dy}{dt}$ と $y = \frac{dx}{dt}$ を代入すると、

$\frac{d^2x}{dt^2} = -8x - 6\frac{dx}{dt}$

$\frac{d^2x}{dt^2} + 6\frac{dx}{dt} + 8x = 0$

この2階線形同次微分方程式を解きます。特性方程式は、

$r^2 + 6r + 8 = 0$

$(r+2)(r+4) = 0$

$r = -2, -4$

したがって、一般解は次のようになります。

$x(t) = c_1e^{-2t} + c_2e^{-4t}$

次に、初期条件 $x(0) = 1$ と $y(0) = 0$ を使って、$c_1$ と $c_2$ を求めます。

$x(0) = 1$ より、

$x(0) = c_1e^{0} + c_2e^{0} = c_1 + c_2 = 1$

また、$y(t) = \frac{dx}{dt}$ なので、$y(t) = -2c_1e^{-2t} - 4c_2e^{-4t}$ となります。

$y(0) = 0$ より、

$y(0) = -2c_1e^{0} - 4c_2e^{0} = -2c_1 - 4c_2 = 0$

$c_1 + 2c_2 = 0$

$c_1 = -2c_2$

$c_1 + c_2 = 1$ に代入すると、

$-2c_2 + c_2 = 1$

$-c_2 = 1$

$c_2 = -1$

$c_1 = 1 - c_2 = 1 - (-1) = 2$

したがって、$x(t) = 2e^{-2t} - e^{-4t}$ となります。

$y(t) = \frac{dx}{dt} = -4e^{-2t} + 4e^{-4t}$

3. 最終的な答え

$x(t) = 2e^{-2t} - e^{-4t}$

$y(t) = -4e^{-2t} + 4e^{-4t}$