問題は、次の等式が正しいことを証明することです。 $x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) + 3xyz$

1. 問題の内容

問題は、次の等式が正しいことを証明することです。

$x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) + 3xyz$

2. 解き方の手順

右辺を展開して、左辺と一致することを示します。

まず、$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$を展開します。

$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = x(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) + y(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) + z(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$= x^3+xy^2+xz^2-x^2y-xyz-x^2z + x^2y+y^3+yz^2-xy^2-y^2z-xyz + x^2z+y^2z+z^3-xyz-yz^2-xz^2$

$= x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$

したがって、

$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) + 3xyz = x^3+y^3+z^3 - 3xyz + 3xyz = x^3 + y^3 + z^3$

これにより、左辺と右辺が一致することが示されました。

3. 最終的な答え

$x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) + 3xyz$