7で割ると5余り、13で割ると8余るような3桁の自然数の個数、最大値、最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

7で割ると5余り、13で割ると8余るような3桁の自然数の個数、最大値、最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、7で割ると5余る数は、$7k + 5$ (kは整数) と表せます。

同様に、13で割ると8余る数は、$13l + 8$ (lは整数) と表せます。

したがって、$7k + 5 = 13l + 8$となるkとlを見つけます。

$7k + 5 = 13l + 8$

$7k = 13l + 3$

$7k = 14l - l + 3$

$7k - 14l = -l + 3$

$7(k - 2l) = -l + 3$

$k - 2l = \frac{-l + 3}{7}$

$k = 2l + \frac{-l + 3}{7}$

$-l + 3$ が7の倍数になるような最小の $l$ は、$l=3$ です。このとき、

$k = 2(3) + \frac{-3+3}{7} = 6$

よって、$7k + 5 = 7(6) + 5 = 47$

$13l + 8 = 13(3) + 8 = 47$

したがって、求める自然数は、$47 + 7 \times 13 \times n = 47 + 91n$ (nは整数) と表せます。

$47 + 91n$ が3桁の数である条件を考えます。

$100 \le 47 + 91n \le 999$

$53 \le 91n \le 952$

$\frac{53}{91} \le n \le \frac{952}{91}$

$0.58 \le n \le 10.46$

したがって、$n$ は 1 から 10 までの整数です。

$n$ の個数は $10$ 個です。

最小の3桁の自然数は、$47 + 91(1) = 138$ です。

最大の3桁の自然数は、$47 + 91(10) = 957$ です。

3. 最終的な答え

ア: 10

イ: 957

ウ: 138