ある正の整数 $n$ を10進法で表すと2桁になり、その時の各位の数字の並びは、整数 $n+2$ を6進法で表したときの各位の数字の並びと逆順になる。このとき、$n$ を10進法で表したものと2進法で表したものを求める。

1. 問題の内容

ある正の整数 $n$ を10進法で表すと2桁になり、その時の各位の数字の並びは、整数 $n+2$ を6進法で表したときの各位の数字の並びと逆順になる。このとき、$n$ を10進法で表したものと2進法で表したものを求める。

2. 解き方の手順

$n$ は10進法で2桁の整数なので、$n = 10a + b$ と表せる。ここで、$a, b$ は整数で、$1 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$。

$n+2$ を6進法で表すと、各位の数字の並びが $n$ の10進法での各位の数字の並びと逆順になるので、$n+2 = 6b + a$ と表せる。

したがって、$10a + b + 2 = 6b + a$ となる。

これを整理すると、$9a - 5b = -2$ となる。

$a = \frac{5b - 2}{9}$ となる。$a$ は整数なので、$5b - 2$ は9の倍数でなければならない。

$b$ は0から9の整数なので、$5b - 2$ は -2から43の間の整数である。その中で9の倍数となるのは、$5b-2 = 0, 9, 18, 27, 36$。

これらのそれぞれについて、$b = \frac{2}{5}, \frac{11}{5}, 4, \frac{29}{5}, \frac{38}{5}$ となり、$b$ が整数となるのは、$b=4$ の場合のみ。

$b = 4$ のとき、$a = \frac{5(4) - 2}{9} = \frac{18}{9} = 2$。

したがって、$n = 10a + b = 10(2) + 4 = 24$。

$n+2 = 24 + 2 = 26$。$n+2$ を6進法で表すと、$26 = 4 \cdot 6^1 + 2 \cdot 6^0 = 42_6$。

$n = 24$ を2進法で表すと、$24 = 16 + 8 = 2^4 + 2^3 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 11000_2$。

3. 最終的な答え

$n$ を10進法で表すと $24$。

$n$ を2進法で表すと $11000_2$。