与えられた2次関数のグラフを描き、頂点と軸を求める問題です。今回は以下の3つの関数について求めます。 (2) $y = 2(x-2)^2 - 4$ (3) $y = -2(x+1)^2 + 2$ (4) $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 1$

1. 問題の内容

与えられた2次関数のグラフを描き、頂点と軸を求める問題です。今回は以下の3つの関数について求めます。

(2) $y = 2(x-2)^2 - 4$

(3) $y = -2(x+1)^2 + 2$

(4) $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 1$

2. 解き方の手順

(2) $y = 2(x-2)^2 - 4$

この式は平方完成された形なので、頂点と軸を直接読み取ることができます。

* 頂点は $(2, -4)$ です。

* 軸は直線 $x = 2$ です。

* グラフは下に凸です（$x^2$の係数が正なので）。

* $y$切片は $x=0$ を代入して $y = 2(0-2)^2 - 4 = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$ です。

(3) $y = -2(x+1)^2 + 2$

同様に、この式も平方完成された形なので、頂点と軸を直接読み取ることができます。

* 頂点は $(-1, 2)$ です。

* 軸は直線 $x = -1$ です。

* グラフは上に凸です（$x^2$の係数が負なので）。

* $y$切片は $x=0$ を代入して $y = -2(0+1)^2 + 2 = -2(1) + 2 = -2 + 2 = 0$ です。

(4) $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 1$

この式も平方完成された形なので、頂点と軸を直接読み取ることができます。

* 頂点は $(-2, -1)$ です。

* 軸は直線 $x = -2$ です。

* グラフは上に凸です（$x^2$の係数が負なので）。

* $y$切片は $x=0$ を代入して $y = -\frac{1}{2}(0+2)^2 - 1 = -\frac{1}{2}(4) - 1 = -2 - 1 = -3$ です。

3. 最終的な答え

(2) $y = 2(x-2)^2 - 4$

* 頂点: $(2, -4)$

* 軸: $x = 2$

* グラフ: 下に凸

* $y$切片: $4$

(3) $y = -2(x+1)^2 + 2$

* 頂点: $(-1, 2)$

* 軸: $x = -1$

* グラフ: 上に凸

* $y$切片: $0$

(4) $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 1$

* 頂点: $(-2, -1)$

* 軸: $x = -2$

* グラフ: 上に凸

* $y$切片: $-3$