(1) 1183 と 2821 の最大公約数を、ユークリッドの互除法を用いて求めます。 (2) $8x + 11y = 1$ を満たす整数 $x, y$ の組を1つ求めます。

1. 問題の内容

(1) 1183 と 2821 の最大公約数を、ユークリッドの互除法を用いて求めます。

(2) $8x + 11y = 1$ を満たす整数 $x, y$ の組を1つ求めます。

2. 解き方の手順

(1) ユークリッドの互除法を用いて最大公約数を求めます。

$2821 = 1183 \times 2 + 455$

$1183 = 455 \times 2 + 273$

$455 = 273 \times 1 + 182$

$273 = 182 \times 1 + 91$

$182 = 91 \times 2 + 0$

よって、1183 と 2821 の最大公約数は 91 です。

(2) 拡張されたユークリッドの互除法を用いて、$8x + 11y = 1$ を満たす整数解 $x, y$ を求めます。

まず、11 と 8 に対してユークリッドの互除法を行います。

$11 = 8 \times 1 + 3$

$8 = 3 \times 2 + 2$

$3 = 2 \times 1 + 1$

次に、これらの式を逆向きに解きます。

$1 = 3 - 2 \times 1$

$2 = 8 - 3 \times 2$ を代入すると、

$1 = 3 - (8 - 3 \times 2) \times 1 = 3 \times 3 - 8 \times 1$

$3 = 11 - 8 \times 1$ を代入すると、

$1 = (11 - 8 \times 1) \times 3 - 8 \times 1 = 11 \times 3 - 8 \times 3 - 8 \times 1 = 11 \times 3 - 8 \times 4$

したがって、$8x + 11y = 1$ の解は、$x = -4$, $y = 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 91

(2) $x = -4, y = 3$