## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(3) 不定方程式 $5x - 7y = 1$ の整数解をすべて求めよ。

(4) 不定方程式 $4x + 19y = 3$ の整数解をすべて求めよ。

(5) 5で割ると3余り、8で割ると1余る自然数のうち、最も小さいものを求めよ。

(6) 14で割ると3余り、21で割ると12余るような整数が存在しないことを示せ。

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2. 解き方の手順

**(3) 不定方程式 $5x - 7y = 1$ の整数解**

まず、$5x - 7y = 1$ を満たす整数解を1つ見つける。

$5(3) - 7(2) = 15 - 14 = 1$ より、$x = 3$, $y = 2$ が1つの解である。

$5x - 7y = 1$ と $5(3) - 7(2) = 1$ の差をとると、

$5(x - 3) - 7(y - 2) = 0$

$5(x - 3) = 7(y - 2)$

5と7は互いに素なので、$x - 3$ は7の倍数でなければならない。したがって、$x - 3 = 7k$ （$k$は整数）とおける。

$x = 7k + 3$

これを $5(x - 3) = 7(y - 2)$ に代入すると、

$5(7k) = 7(y - 2)$

$5k = y - 2$

$y = 5k + 2$

よって、一般解は $x = 7k + 3$, $y = 5k + 2$ （$k$は整数）である。

**(4) 不定方程式 $4x + 19y = 3$ の整数解**

まず、$4x + 19y = 3$ を満たす整数解を1つ見つける。

$4(5) + 19(-1) = 20 - 19 = 1$ なので、両辺を3倍して $4(15) + 19(-3) = 3$

よって、$x = 15$, $y = -3$ が1つの解である。

$4x + 19y = 3$ と $4(15) + 19(-3) = 3$ の差をとると、

$4(x - 15) + 19(y + 3) = 0$

$4(x - 15) = -19(y + 3)$

4と19は互いに素なので、$x - 15$ は19の倍数でなければならない。したがって、$x - 15 = 19k$ （$k$は整数）とおける。

$x = 19k + 15$

これを $4(x - 15) = -19(y + 3)$ に代入すると、

$4(19k) = -19(y + 3)$

$4k = -(y + 3)$

$y = -4k - 3$

よって、一般解は $x = 19k + 15$, $y = -4k - 3$ （$k$は整数）である。

**(5) 5で割ると3余り、8で割ると1余る自然数のうち、最も小さいもの**

求める自然数を $n$ とすると、

$n = 5a + 3$ （$a$ は整数）

$n = 8b + 1$ （$b$ は整数）

と表せる。

$5a + 3 = 8b + 1$ より、

$5a - 8b = -2$

$5a - 8b = -2$ を満たす整数解を1つ見つける。

$5(2) - 8(1) = 10 - 8 = 2$ なので、$5(-2) - 8(-1) = -2$

よって、$a = -2$, $b = -1$ が1つの解である。

$5a - 8b = -2$ と $5(-2) - 8(-1) = -2$ の差をとると、

$5(a + 2) - 8(b + 1) = 0$

$5(a + 2) = 8(b + 1)$

5と8は互いに素なので、$a + 2$ は8の倍数でなければならない。したがって、$a + 2 = 8k$ （$k$は整数）とおける。

$a = 8k - 2$

$n = 5a + 3 = 5(8k - 2) + 3 = 40k - 10 + 3 = 40k - 7$

$n$ が自然数なので、$40k - 7 > 0$

$40k > 7$

$k > \frac{7}{40}$

$k$ は整数なので、$k = 1$ が最小。

$n = 40(1) - 7 = 33$

**(6) 14で割ると3余り、21で割ると12余るような整数が存在しないことの証明**

求める整数を $n$ とすると、

$n = 14a + 3$ （$a$ は整数）

$n = 21b + 12$ （$b$ は整数）

と表せる。

$14a + 3 = 21b + 12$ より、

$14a - 21b = 9$

$2(7a) - 3(7b) = 9$

$7(2a - 3b) = 9$

ここで、$a$ と $b$ は整数なので、$2a - 3b$ も整数である。

したがって、7の倍数が9になる必要があるが、これはあり得ない。

よって、与えられた条件を満たす整数は存在しない。

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3. 最終的な答え

(3) $x = 7k + 3$, $y = 5k + 2$ （$k$は整数）

(4) $x = 19k + 15$, $y = -4k - 3$ （$k$は整数）

(5) 33

(6) 14で割ると3余り、21で割ると12余るような整数は存在しない。