(1) $(x^2 + \frac{1}{x})^9$ の展開式における定数項を求める。 (2) $(2x - y + z)^8$ の展開式における $x^2 y^3 z^3$ の係数を求める。

代数学二項定理多項定理展開式係数
2025/7/16

1. 問題の内容

(1) (x2+1x)9(x^2 + \frac{1}{x})^9 の展開式における定数項を求める。
(2) (2xy+z)8(2x - y + z)^8 の展開式における x2y3z3x^2 y^3 z^3 の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1)
二項定理より、(x2+1x)9(x^2 + \frac{1}{x})^9 の一般項は
9Cr(x2)9r(1x)r=9Crx182rxr=9Crx183r{}_9 C_r (x^2)^{9-r} (\frac{1}{x})^r = {}_9 C_r x^{18-2r} x^{-r} = {}_9 C_r x^{18-3r}
定数項を求めるので、183r=018-3r=0 となる rr を求める。
183r=018-3r = 0 より 3r=183r=18, よって r=6r=6
したがって、定数項は
9C6=9C3=987321=347=84{}_9 C_6 = {}_9 C_3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84
(2)
多項定理より、(2xy+z)8(2x - y + z)^8 の一般項は
8!p!q!r!(2x)p(y)q(z)r\frac{8!}{p!q!r!} (2x)^p (-y)^q (z)^r ただし、p+q+r=8p+q+r=8
x2y3z3x^2 y^3 z^3 の係数を求めるので、p=2p=2, q=3q=3, r=3r=3
p+q+r=2+3+3=8p+q+r = 2+3+3 = 8 であるから条件を満たす。
係数は
8!2!3!3!(2)2(1)3(1)3=87654321(21)(321)(321)(4)(1)(1)=8765426(4)(1)=8752(4)=5610(4)=560(4)=2240\frac{8!}{2!3!3!} (2)^2 (-1)^3 (1)^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) (3 \cdot 2 \cdot 1) (3 \cdot 2 \cdot 1)} (4) (-1) (1) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2 \cdot 6} (4)(-1) = 8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2 (-4) = 56 \cdot 10 (-4) = 560 (-4) = -2240

3. 最終的な答え

(1) 定数項は 84
(2) x2y3z3x^2 y^3 z^3 の係数は -2240

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