2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が垂直であるとき、定数 $k$ の値を求める問題です。 直線 $l_1$ は $\frac{x-2}{4} = \frac{y-4}{6} = \frac{z+1}{3}$ で表され、直線 $l_2$ は $x = 1-3t$, $y = 5+kt$, $z = -3 + (2k^2+1)t$ ($t$ は実数) で表されます。

1. 問題の内容

2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が垂直であるとき、定数 $k$ の値を求める問題です。

直線 $l_1$ は $\frac{x-2}{4} = \frac{y-4}{6} = \frac{z+1}{3}$ で表され、直線 $l_2$ は $x = 1-3t$, $y = 5+kt$, $z = -3 + (2k^2+1)t$ ($t$ は実数) で表されます。

2. 解き方の手順

直線 $l_1$ の方向ベクトルは $\vec{v_1} = (4, 6, 3)$ です。

直線 $l_2$ の方向ベクトルは $\vec{v_2} = (-3, k, 2k^2+1)$ です。

2つの直線が垂直であるためには、それぞれの方向ベクトルの内積が0でなければなりません。つまり、$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ です。

内積を計算すると、

$4 \cdot (-3) + 6 \cdot k + 3 \cdot (2k^2+1) = 0$

$-12 + 6k + 6k^2 + 3 = 0$

$6k^2 + 6k - 9 = 0$

$2k^2 + 2k - 3 = 0$

この2次方程式を解きます。解の公式を用いると、

$k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

$k = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}$