(1) 2次方程式 $x^2+ax-15=0$ の解の一つが $5$ であるとき、$a$ の値ともう一つの解を求める。 (2) 2次方程式 $x^2+ax+b=0$ の解が $-5$ と $6$ のとき、$a$ と $b$ の値をそれぞれ求める。 D3. 右の図で、点Pは $y=x+2$ のグラフ上の点で、点Aは $PO=PA$ となるx軸上の点です。点Pのx座標をaとして、次の座標を求めなさい。ただし、$a>0$ とし、座標の1目盛りは1cmとします。 (1) 点Pのy座標を求める。 (2) 点Aの座標を求める。 (3) $\triangle POA$ の面積が $15 cm^2$ のときの点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2+ax-15=0$ の解の一つが $5$ であるとき、$a$ の値ともう一つの解を求める。

(2) 2次方程式 $x^2+ax+b=0$ の解が $-5$ と $6$ のとき、$a$ と $b$ の値をそれぞれ求める。

D

3. 右の図で、点Pは $y=x+2$ のグラフ上の点で、点Aは $PO=PA$ となるx軸上の点です。点Pのx座標をaとして、次の座標を求めなさい。ただし、$a>0$ とし、座標の1目盛りは1cmとします。

(1) 点Pのy座標を求める。

(2) 点Aの座標を求める。

(3) $\triangle POA$ の面積が $15 cm^2$ のときの点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

解の一つが $5$ であるので、$x=5$ を $x^2+ax-15=0$ に代入する。

$5^2 + 5a - 15 = 0$

$25 + 5a - 15 = 0$

$5a = -10$

$a = -2$

$x^2 - 2x - 15 = 0$ を解く。

$(x-5)(x+3) = 0$

$x = 5, -3$

もう一つの解は $-3$。

(2)

解が $-5$ と $6$ であるので、

$(x+5)(x-6) = 0$

$x^2 - 6x + 5x - 30 = 0$

$x^2 - x - 30 = 0$

よって、$a = -1$, $b = -30$

D

3. (1)

点Pは $y=x+2$ のグラフ上にあるので、点Pのx座標が $a$ のとき、y座標は $a+2$。

よって、点Pのy座標は $a+2$。

(2)

点Aはx軸上の点なので、その座標を $(x, 0)$ とする。

$PO = PA$ より、$PO^2 = PA^2$

$P(a, a+2)$, $O(0, 0)$, $A(x, 0)$

$PO^2 = a^2 + (a+2)^2 = a^2 + a^2 + 4a + 4 = 2a^2 + 4a + 4$

$PA^2 = (a-x)^2 + (a+2)^2 = a^2 - 2ax + x^2 + a^2 + 4a + 4 = 2a^2 - 2ax + x^2 + 4a + 4$

$2a^2 + 4a + 4 = 2a^2 - 2ax + x^2 + 4a + 4$

$0 = -2ax + x^2$

$x(x - 2a) = 0$

$x = 0$ または $x = 2a$

$x=0$ は原点Oなので、$A(2a, 0)$

(3)

$\triangle POA$ の面積は $\frac{1}{2} \times OA \times (Pのy座標)$

$OA = |2a - 0| = 2a$

$\frac{1}{2} \times 2a \times (a+2) = 15$

$a(a+2) = 15$

$a^2 + 2a - 15 = 0$

$(a+5)(a-3) = 0$

$a = -5$ または $a = 3$

ただし、$a>0$ より、$a=3$

点Pの座標は $(3, 3+2) = (3, 5)$

3. 最終的な答え

(1) $a=-2$, もう一つの解は $-3$

(2) $a=-1$, $b=-30$

D

3. (1) $a+2$

(2) $(2a, 0)$

(3) $(3, 5)$