問題は全部で3つあります。 問題1は直方体と立方体の対角線の長さを求める問題です。 問題2は円錐の高さと体積を求める問題です。 問題3は正四角錐の対角線、線分の長さ、高さを求め、最後に体積を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は全部で3つあります。

問題1は直方体と立方体の対角線の長さを求める問題です。

問題2は円錐の高さと体積を求める問題です。

問題3は正四角錐の対角線、線分の長さ、高さを求め、最後に体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

**問題1**

(1) 直方体の対角線の長さは、縦、横、高さがそれぞれ $a$, $b$, $c$ のとき $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ で求められます。

この問題では、縦6cm、横6cm、高さ4cmなので、対角線の長さは $\sqrt{6^2 + 6^2 + 4^2}$ です。

計算すると、$\sqrt{36 + 36 + 16} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}$ cmです。

(2) 立方体の対角線の長さは、1辺が $a$ のとき $\sqrt{3}a$ で求められます。

この問題では、1辺が5cmなので、対角線の長さは $5\sqrt{3}$ cmです。

**問題2**

(1) 円錐の高さは、ピタゴラスの定理を用いて求めます。母線の長さを $l$、底面の半径を $r$、高さを $h$ とすると、$h = \sqrt{l^2 - r^2}$ で求められます。

この問題では、母線が15cm、半径が10cmなので、高さは $\sqrt{15^2 - 10^2} = \sqrt{225 - 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ cmです。

(2) 円錐の体積は、$\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$ で求められます。

底面積は $\pi r^2 = \pi (10^2) = 100\pi$ です。

したがって、体積は $\frac{1}{3} \times 100\pi \times 5\sqrt{5} = \frac{500\sqrt{5}\pi}{3}$ cm³です。

**問題3**

(1) ACは正方形の対角線なので、1辺の長さが4cmの正方形の対角線は $4\sqrt{2}$ cmです。

AHはACの半分なので、 $4\sqrt{2} / 2 = 2\sqrt{2}$ cmです。

(2) OHはピタゴラスの定理を用いて求めます。三角形OAHは直角三角形なので、$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{8^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 - 8} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$ cmです。

(3) 正四角錐OABCDの体積は、$\frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$ で求められます。

底面積は $4 \times 4 = 16$ cm²です。

高さは $2\sqrt{14}$ cmです。

したがって、体積は $\frac{1}{3} \times 16 \times 2\sqrt{14} = \frac{32\sqrt{14}}{3}$ cm³です。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $2\sqrt{22}$ cm

(2) $5\sqrt{3}$ cm

問題2:

(1) $5\sqrt{5}$ cm

(2) $\frac{500\sqrt{5}\pi}{3}$ cm³

問題3:

(1) $AC=4\sqrt{2}$ cm, $AH=2\sqrt{2}$ cm

(2) $OH=2\sqrt{14}$ cm

(3) $\frac{32\sqrt{14}}{3}$ cm³