底面が正方形の正四角錐O-ABCDがあり、底面の対角線の交点をEとします。 (1) AEの長さを求めます。 (2) この正四角錐の体積を求めます。 AB = 6cm, OA = 9cmです。

1. 問題の内容

底面が正方形の正四角錐O-ABCDがあり、底面の対角線の交点をEとします。

(1) AEの長さを求めます。

(2) この正四角錐の体積を求めます。

AB = 6cm, OA = 9cmです。

2. 解き方の手順

(1) AEの長さを求める。

正方形ABCDの一辺の長さは6cmなので、ACの長さは三平方の定理より、

$AC = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ cm

EはACの中点なので、

$AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ cm

(2) 正四角錐の体積を求める。

まず、高さOEを求める必要があります。

三角形OAEに三平方の定理を適用すると、

$OE^2 + AE^2 = OA^2$

$OE^2 = OA^2 - AE^2 = 9^2 - (3\sqrt{2})^2 = 81 - 18 = 63$

$OE = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$ cm

正四角錐の体積Vは、底面積 × 高さ × (1/3) で求められます。

底面積は $6^2 = 36$ cm$^2$

したがって、

$V = \frac{1}{3} \times 36 \times 3\sqrt{7} = 36\sqrt{7}$ cm$^3$

3. 最終的な答え

(1) $AE = 3\sqrt{2}$ cm

(2) 体積は $36\sqrt{7}$ cm$^3$