数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ はともに初項が 6、第 2 項が 3、第 3 項が 2 である。 (1) $c_n = a_{n+1} - a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とおく。数列 $\{c_n\}$ が等差数列であるとき、$a_n$ を求めよ。 (2) $d_n = b_{n+1} - b_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とおく。数列 $\{d_n\}$ が等比数列であるとき、$b_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ はともに初項が 6、第 2 項が 3、第 3 項が 2 である。

(1) $c_n = a_{n+1} - a_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とおく。数列 $\{c_n\}$ が等差数列であるとき、$a_n$ を求めよ。

(2) $d_n = b_{n+1} - b_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とおく。数列 $\{d_n\}$ が等比数列であるとき、$b_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

数列 $\{a_n\}$ は、 $a_1 = 6, a_2 = 3, a_3 = 2$ である。

$c_n = a_{n+1} - a_n$ とおくと、$c_1 = a_2 - a_1 = 3 - 6 = -3$, $c_2 = a_3 - a_2 = 2 - 3 = -1$ である。

数列 $\{c_n\}$ は等差数列なので、公差を $d$ とすると、$d = c_2 - c_1 = -1 - (-3) = 2$ である。

したがって、$c_n = c_1 + (n-1)d = -3 + (n-1)2 = 2n - 5$ である。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k = 6 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 5) = 6 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - 5 \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 6 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - 5(n-1) = 6 + n(n-1) - 5(n-1) = 6 + n^2 - n - 5n + 5 = n^2 - 6n + 11$ である。

$n = 1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 6(1) + 11 = 1 - 6 + 11 = 6$ となり、$a_1 = 6$ を満たす。

したがって、$a_n = n^2 - 6n + 11$ である。

(2)

数列 $\{b_n\}$ は、 $b_1 = 6, b_2 = 3, b_3 = 2$ である。

$d_n = b_{n+1} - b_n$ とおくと、$d_1 = b_2 - b_1 = 3 - 6 = -3$, $d_2 = b_3 - b_2 = 2 - 3 = -1$ である。

数列 $\{d_n\}$ は等比数列なので、公比を $r$ とすると、$r = \frac{d_2}{d_1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$ である。

したがって、$d_n = d_1 r^{n-1} = -3 \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = -3 \cdot 3^{-(n-1)} = -3^{1-(n-1)} = -3^{2-n}$ である。

$n \ge 2$ のとき、$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} d_k = 6 + \sum_{k=1}^{n-1} (-3^{2-k}) = 6 - \sum_{k=1}^{n-1} 3^{2-k} = 6 - \sum_{k=1}^{n-1} 9 \cdot 3^{-k} = 6 - 9 \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{3} \right)^k = 6 - 9 \cdot \frac{\frac{1}{3} \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \right)}{1 - \frac{1}{3}} = 6 - 9 \cdot \frac{\frac{1}{3} \left( 1 - 3^{-(n-1)} \right)}{\frac{2}{3}} = 6 - 9 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \left( 1 - 3^{-(n-1)} \right) = 6 - \frac{9}{2} \left( 1 - 3^{1-n} \right) = 6 - \frac{9}{2} + \frac{9}{2} \cdot 3^{1-n} = \frac{12 - 9}{2} + \frac{9}{2} \cdot 3^{1-n} = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} \cdot 3^{1-n} = \frac{3 + 9 \cdot 3^{1-n}}{2} = \frac{3 + 3^{2} \cdot 3^{1-n}}{2} = \frac{3 + 3^{3-n}}{2}$ である。

$n = 1$ のとき、$b_1 = \frac{3 + 3^{3-1}}{2} = \frac{3 + 3^2}{2} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$ となり、$b_1 = 6$ を満たす。

したがって、$b_n = \frac{3 + 3^{3-n}}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - 6n + 11$

(2) $b_n = \frac{3 + 3^{3-n}}{2}$