差が4である2つの奇数において、大きい方の奇数の2乗から小さい方の奇数の2乗を引いた差が8の倍数になることを証明する。

1. 問題の内容

差が4である2つの奇数において、大きい方の奇数の2乗から小さい方の奇数の2乗を引いた差が8の倍数になることを証明する。

2. 解き方の手順

小さい方の奇数を $2n+1$ とすると、大きい方の奇数は $(2n+1) + 4 = 2n+5$ と表せる。

大きい方の奇数の2乗から小さい方の奇数の2乗を引いた差は、

\begin{align*}

(2n+5)^2 - (2n+1)^2 &= (4n^2 + 20n + 25) - (4n^2 + 4n + 1) \\

&= 4n^2 + 20n + 25 - 4n^2 - 4n - 1 \\

&= 16n + 24 \\

&= 8(2n+3)

\end{align*}

$2n+3$ は整数なので、$8(2n+3)$ は8の倍数である。

したがって、差が4である2つの奇数において、大きい方の奇数の2乗から小さい方の奇数の2乗を引いた差は8の倍数になる。

3. 最終的な答え

差が4である2つの奇数において、大きい方の奇数の2乗から小さい方の奇数の2乗を引いた差は、8の倍数になる。