与えられた問題は、放物線 $y = x^2 - 1$ と直線 $y = kx - 3$ の関係、および点 $(a, b)$ から放物線 $y = x^2 - 1$ に引いた接線に関する問題です。具体的には、以下の内容を求める必要があります。 * 放物線と直線が異なる2点で交わる時の $k$ の範囲。 * 放物線と直線が接する時の接点の座標。 * 点 $(a, b)$ から放物線 $y = x^2 - 1$ に接線を2本引けるための必要十分条件。 * 2本の接線が垂直に交わる時の $b$ の値。

1. 問題の内容

与えられた問題は、放物線 $y = x^2 - 1$ と直線 $y = kx - 3$ の関係、および点 $(a, b)$ から放物線 $y = x^2 - 1$ に引いた接線に関する問題です。具体的には、以下の内容を求める必要があります。

* 放物線と直線が異なる2点で交わる時の $k$ の範囲。

* 放物線と直線が接する時の接点の座標。

* 点 $(a, b)$ から放物線 $y = x^2 - 1$ に接線を2本引けるための必要十分条件。

* 2本の接線が垂直に交わる時の $b$ の値。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 - 1$ と直線 $y = kx - 3$ が異なる2点で交わる条件

連立方程式を解いて、$x$ についての二次方程式を作ります。

$x^2 - 1 = kx - 3$

$x^2 - kx + 2 = 0$

この二次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ となることです。

$D = (-k)^2 - 4(1)(2) = k^2 - 8 > 0$

$k^2 > 8$

よって、$k > 2\sqrt{2}$ または $k < -2\sqrt{2}$

(2) 放物線 $y = x^2 - 1$ と直線 $y = kx - 3$ が接する条件

放物線と直線が接するとき、$x^2 - kx + 2 = 0$ の判別式 $D = 0$ となります。

$k^2 - 8 = 0$

$k = \pm 2\sqrt{2}$

$k = 2\sqrt{2}$ のとき、$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$ より、$(x - \sqrt{2})^2 = 0$ なので、$x = \sqrt{2}$

このとき、$y = (\sqrt{2})^2 - 1 = 2 - 1 = 1$

$k = -2\sqrt{2}$ のとき、$x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$ より、$(x + \sqrt{2})^2 = 0$ なので、$x = -\sqrt{2}$

このとき、$y = (-\sqrt{2})^2 - 1 = 2 - 1 = 1$

したがって、接点の座標は $(\sqrt{2}, 1), (-\sqrt{2}, 1)$

(3) 点 $(a, b)$ から放物線 $y = x^2 - 1$ に接線を引く条件

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点の座標は $(t, t^2 - 1)$ と表せます。

$y = x^2 - 1$ を微分すると、$y' = 2x$ なので、接線の方程式は

$y - (t^2 - 1) = 2t(x - t)$

$y = 2tx - t^2 - 1 + 2t^2 - t^2 = 2tx - t^2 - 1$

この直線が点 $(a, b)$ を通るので、

$b = 2ta - t^2 - 1$

$t^2 - 2at + b + 1 = 0$

この二次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ となることです。

$D/4 = (-a)^2 - (b + 1) = a^2 - b - 1 > 0$

$a^2 - b - 1 > 0$ より、$a^2 - b > 1$

(4) 2本の接線が垂直に交わる条件

$t^2 - 2at + b + 1 = 0$ の2つの解を $t_1, t_2$ とすると、$t_1, t_2$ は2つの接点の $x$ 座標を表します。

2本の接線の傾きはそれぞれ $2t_1, 2t_2$ となり、これらが垂直に交わるので、

$(2t_1)(2t_2) = -1$

$4t_1t_2 = -1$

$t_1t_2 = -\frac{1}{4}$

解と係数の関係より、$t_1t_2 = b + 1$ なので、

$b + 1 = -\frac{1}{4}$

$b = -\frac{1}{4} - 1 = -\frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

* $k$ の範囲：$k > 2\sqrt{2}$, $-2\sqrt{2} > k$

* 接点の座標：$(\sqrt{2}, 1), (-\sqrt{2}, 1)$ ただし、$-\sqrt{2} < \sqrt{2}$ とする。

* 接線を2本引ける条件：$a^2 - b > 1$

* 2本の接線が垂直に交わる時の $b$ の値：$b = -\frac{5}{4}$