差が6である連続する3つの整数について、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) 最も大きい整数の2乗から最も小さい整数の2乗と真ん中の整数を9倍した数を引いた差は、真ん中の整数の15倍に等しくなることを証明します。 (2) 3つの整数の和を（A）倍した数は、（B）と（C）の和の3倍に等しくなります。このとき、（A）にあてはまる自然数を求め、(B)と(C)に当てはまるものを、選択肢ア～ウから選びます。 ア. 最も小さい整数 イ. 真ん中の整数 ウ. 最も大きい整数

1. 問題の内容

差が6である連続する3つの整数について、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) 最も大きい整数の2乗から最も小さい整数の2乗と真ん中の整数を9倍した数を引いた差は、真ん中の整数の15倍に等しくなることを証明します。

(2) 3つの整数の和を（A）倍した数は、（B）と（C）の和の3倍に等しくなります。このとき、（A）にあてはまる自然数を求め、(B)と(C)に当てはまるものを、選択肢ア～ウから選びます。

ア. 最も小さい整数

イ. 真ん中の整数

ウ. 最も大きい整数

2. 解き方の手順

(1) 予想の証明

差が6である連続する3つの整数を、$n$, $n+6$, $n+12$とします。

このとき、真ん中の整数は$n+6$です。

最も大きい整数の2乗から最も小さい整数の2乗と真ん中の整数を9倍した数を引いた差は、

$(n+12)^2 - n^2 - 9(n+6) = n^2 + 24n + 144 - n^2 - 9n - 54 = 15n + 90 = 15(n+6)$

となり、これは真ん中の整数 $n+6$ の15倍に等しくなります。

したがって、予想は正しいことが証明されました。

(2) まとめ

差が6である連続する3つの整数を$n$, $n+6$, $n+12$とします。

3つの整数の和は、$n + (n+6) + (n+12) = 3n + 18 = 3(n+6)$です。

3つの整数の和を(A)倍した数は、（B）と（C）の和の3倍に等しいので、

$A \times 3(n+6) = 3(B + C)$

$A(n+6) = B + C$

$A = 2$のとき、$B=n, C=n+12$なので、$n+12+n = 2n+12 = 2(n+6)$

$B=n+6, C=n+6$とすると、$B+C= 2(n+6)$.

このとき、BとCは真ん中の整数です。

$A = 2$, $B=イ$, $C=イ$

3. 最終的な答え

(1) 証明は上記の通り。

(2)

[A] 2

[B] イ

[C] イ