この問題は、二次方程式に関する様々な問いに答えるものです。 問1では、与えられた選択肢の中から、解の一つが5であるものを選ぶ問題と、二次方程式 $x^2 - 8x = 0$ の解を全て答える問題があります。 問2では、いくつかの二次方程式を解く問題があります。 問3では、二次方程式の解の一つが与えられたときに、係数を求めたり、もう一つの解を求めたりする問題があります。

1. 問題の内容

この問題は、二次方程式に関する様々な問いに答えるものです。

問1では、与えられた選択肢の中から、解の一つが5であるものを選ぶ問題と、二次方程式 $x^2 - 8x = 0$ の解を全て答える問題があります。

問2では、いくつかの二次方程式を解く問題があります。

問3では、二次方程式の解の一つが与えられたときに、係数を求めたり、もう一つの解を求めたりする問題があります。

2. 解き方の手順

**問1**

(1)

* ア: $x^2 = 5$ の解は $x = \pm \sqrt{5}$ なので、5は解ではありません。

* イ: $(x+5)(x+1) = 0$ の解は $x = -5, -1$ なので、5は解ではありません。

* ウ: $(x-5)^2 - 5 = 0$ より $(x-5)^2 = 5$ なので、$x-5 = \pm \sqrt{5}$ となり、$x = 5 \pm \sqrt{5}$。よって、5は解ではありません。

* エ: $x^2 - 5x = 0$ より $x(x-5) = 0$。したがって、$x = 0, 5$ なので、5は解です。

(2)

* $x^2 - 8x = 0$ より $x(x-8) = 0$。したがって、$x = 0, 8$ が解です。

**問2**

(1) $x^2 = 28$ より $x = \pm \sqrt{28} = \pm 2\sqrt{7}$

(2) $9x^2 - 81 = 0$ より $9x^2 = 81$。よって、$x^2 = 9$ より $x = \pm 3$

(3) $(x-8)^2 = 4$ より $x-8 = \pm 2$。したがって、$x = 8 \pm 2$ より $x = 6, 10$

(4) $x^2 + 12x = 3$ より $x^2 + 12x - 3 = 0$。解の公式より、$x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 12}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{156}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{39}}{2} = -6 \pm \sqrt{39}$

(5) $x^2 - 7x + 5 = 0$。解の公式より、$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 20}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{2}$

(6) $2x^2 - 9x - 11 = 0$。解の公式より、$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 88}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{9 \pm 13}{4}$。したがって、$x = \frac{22}{4} = \frac{11}{2}, x = \frac{-4}{4} = -1$

(7) $(x+3)(x-4) = 0$ より $x = -3, 4$

(8) $x^2 - 22x + 40 = 0$。$(x-2)(x-20) = 0$ より $x = 2, 20$

(9) $x^2 + 16x + 64 = 0$。$(x+8)^2 = 0$ より $x = -8$

(10) $x^2 - 30x = 0$。$x(x-30) = 0$ より $x = 0, 30$

(11) $4x^2 - 36x - 88 = 0$。$x^2 - 9x - 22 = 0$。$(x-11)(x+2) = 0$ より $x = 11, -2$

(12) $(x+7)(x-7) = -32$。$x^2 - 49 = -32$ より $x^2 = 17$。$x = \pm \sqrt{17}$

(13) $(x-2)^2 - 7 = -2x^2 - 6x$。 $x^2 - 4x + 4 - 7 = -2x^2 - 6x$。$3x^2 + 2x - 3 = 0$。解の公式より、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 36}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{3}$

(14) $3(x^2 - 3x) = (x-3)(x-18)$。 $3x^2 - 9x = x^2 - 21x + 54$。$2x^2 + 12x - 54 = 0$。$x^2 + 6x - 27 = 0$。$(x+9)(x-3) = 0$ より $x = -9, 3$

**問3**

(1) $x^2 + 9x + a = 0$ の解の一つが $-4$ なので、 $(-4)^2 + 9(-4) + a = 0$。 $16 - 36 + a = 0$ より $a = 20$。よって、$x^2 + 9x + 20 = 0$。$(x+4)(x+5) = 0$ より $x = -4, -5$。もう一つの解は $-5$。

(2) $x^2 - ax + 5b = 0$ の解が $-10$ と $6$ なので、解と係数の関係より、 $-10 + 6 = a$ かつ $(-10)(6) = 5b$。したがって、$a = -4$ かつ $-60 = 5b$ より $b = -12$。

3. 最終的な答え

**問1**

(1) エ

(2) 0, 8

**問2**

(1) $\pm 2\sqrt{7}$

(2) $\pm 3$

(3) 6, 10

(4) $-6 \pm \sqrt{39}$

(5) $\frac{7 \pm \sqrt{29}}{2}$

(6) $\frac{11}{2}, -1$

(7) -3, 4

(8) 2, 20

(9) -8

(10) 0, 30

(11) 11, -2

(12) $\pm \sqrt{17}$

(13) $\frac{-1 \pm \sqrt{10}}{3}$

(14) -9, 3

**問3**

(1) aの値: 20, もう一つの解: -5

(2) aの値: -4, bの値: -12