与えられた2つの不等式を解きます。 (1) $|x| - 2|x+3| \geq 0$ (2) $|x+2| + |2x-3| > 10$

1. 問題の内容

与えられた2つの不等式を解きます。

(1) $|x| - 2|x+3| \geq 0$

(2) $|x+2| + |2x-3| > 10$

2. 解き方の手順

(1) $|x| - 2|x+3| \geq 0$

絶対値の中身が0になる点で場合分けします。

$x=0$と$x=-3$が場合分けの点です。

(i) $x < -3$ のとき

$|x| = -x$ かつ $|x+3| = -(x+3)$ なので、不等式は

$-x - 2(-(x+3)) \geq 0$

$-x + 2x + 6 \geq 0$

$x \geq -6$

$x < -3$ と $x \geq -6$ より、 $-6 \leq x < -3$

(ii) $-3 \leq x < 0$ のとき

$|x| = -x$ かつ $|x+3| = x+3$ なので、不等式は

$-x - 2(x+3) \geq 0$

$-x - 2x - 6 \geq 0$

$-3x \geq 6$

$x \leq -2$

$-3 \leq x < 0$ と $x \leq -2$ より、 $-3 \leq x \leq -2$

(iii) $x \geq 0$ のとき

$|x| = x$ かつ $|x+3| = x+3$ なので、不等式は

$x - 2(x+3) \geq 0$

$x - 2x - 6 \geq 0$

$-x \geq 6$

$x \leq -6$

$x \geq 0$ と $x \leq -6$ より、解なし

(i),(ii),(iii) より、 $-6 \leq x \leq -2$

(2) $|x+2| + |2x-3| > 10$

絶対値の中身が0になる点で場合分けします。

$x=-2$と$x=\frac{3}{2}$が場合分けの点です。

(i) $x < -2$ のとき

$|x+2| = -(x+2)$ かつ $|2x-3| = -(2x-3)$ なので、不等式は

$-(x+2) - (2x-3) > 10$

$-x - 2 - 2x + 3 > 10$

$-3x + 1 > 10$

$-3x > 9$

$x < -3$

$x < -2$ と $x < -3$ より、$x < -3$

(ii) $-2 \leq x < \frac{3}{2}$ のとき

$|x+2| = x+2$ かつ $|2x-3| = -(2x-3)$ なので、不等式は

$x+2 - (2x-3) > 10$

$x + 2 - 2x + 3 > 10$

$-x + 5 > 10$

$-x > 5$

$x < -5$

$-2 \leq x < \frac{3}{2}$ と $x < -5$ より、解なし

(iii) $x \geq \frac{3}{2}$ のとき

$|x+2| = x+2$ かつ $|2x-3| = 2x-3$ なので、不等式は

$x+2 + 2x-3 > 10$

$3x - 1 > 10$

$3x > 11$

$x > \frac{11}{3}$

$x \geq \frac{3}{2}$ と $x > \frac{11}{3}$ より、$x > \frac{11}{3}$

(i),(ii),(iii) より、$x < -3$ または $x > \frac{11}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-6 \leq x \leq -2$

(2) $x < -3$ または $x > \frac{11}{3}$