与えられた4つの対数計算の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた4つの対数計算の問題を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $\log_2 \frac{16}{5} + \log_2 5$

対数の和の公式 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を用いると、

$\log_2 \frac{16}{5} + \log_2 5 = \log_2 (\frac{16}{5} \times 5) = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$

(2) $\log_3 36 - \log_3 4$

対数の差の公式 $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$ を用いると、

$\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \frac{36}{4} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

(3) $3\log_5 50 - \log_5 8$

対数の性質 $n\log_a x = \log_a x^n$ を用いると、

$3\log_5 50 - \log_5 8 = \log_5 50^3 - \log_5 8$

対数の差の公式 $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$ を用いると、

$\log_5 50^3 - \log_5 8 = \log_5 \frac{50^3}{8} = \log_5 \frac{125000}{8} = \log_5 15625 = \log_5 5^6 = 6$

(4) $\log_2 12 - \log_8 27$

底の変換公式 $\log_a x = \frac{\log_c x}{\log_c a}$ を用いると、

$\log_8 27 = \frac{\log_2 27}{\log_2 8} = \frac{\log_2 3^3}{\log_2 2^3} = \frac{3\log_2 3}{3} = \log_2 3$

よって、

$\log_2 12 - \log_8 27 = \log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 \frac{12}{3} = \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 2

(3) 6

(4) 2