$\lim_{x \to +0} x^{\sin x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to +0} x^{\sin x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^{\sin x}$ とおきます。両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \sin x \ln x$

となります。

したがって、$\lim_{x \to +0} \ln y = \lim_{x \to +0} (\sin x \ln x)$ を計算すればよいことになります。

$\lim_{x \to +0} (\sin x \ln x) = \lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}}$ と変形すると、$\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形となります。

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to +0} \frac{\ln x}{\frac{1}{\sin x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{\cos x}{\sin^2 x}} = \lim_{x \to +0} -\frac{\sin^2 x}{x \cos x}$

$= \lim_{x \to +0} -\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{x \to +0} -\frac{\sin x}{x} \cdot \tan x$

$\lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることと、$\lim_{x \to +0} \tan x = 0$ であることから、

$\lim_{x \to +0} -\frac{\sin x}{x} \cdot \tan x = -1 \cdot 0 = 0$

よって、$\lim_{x \to +0} \ln y = 0$ となります。

$\lim_{x \to +0} y = \lim_{x \to +0} x^{\sin x} = e^{\lim_{x \to +0} \ln y} = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to +0} x^{\sin x} = 1$