ライプニッツの公式を用いて、関数 $(x^2 - 3x + 1)e^x$ の3階微分を求める問題です。つまり、 $\frac{d^3}{dx^3}((x^2 - 3x + 1)e^x)$ を計算します。

1. 問題の内容

ライプニッツの公式を用いて、関数 $(x^2 - 3x + 1)e^x$ の3階微分を求める問題です。つまり、

$\frac{d^3}{dx^3}((x^2 - 3x + 1)e^x)$

を計算します。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式は、積のn階微分を求める際に使用します。今回の場合は $n = 3$, $u = x^2 - 3x + 1$, $v = e^x$ とします。

ライプニッツの公式は次の通りです。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、${}_n C_k$ は二項係数であり、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で定義されます。

まず、$u$ の微分を計算します。

$u = x^2 - 3x + 1$

$u' = 2x - 3$

$u'' = 2$

$u''' = 0$

$u^{(k)} = 0$ (for $k \geq 4$)

次に、$v$ の微分を計算します。

$v = e^x$

$v' = e^x$

$v'' = e^x$

$v''' = e^x$

$v^{(k)} = e^x$ (for all $k$)

ライプニッツの公式を適用します。

$(uv)^{(3)} = {}_3 C_0 u^{(3)} v^{(0)} + {}_3 C_1 u^{(2)} v^{(1)} + {}_3 C_2 u^{(1)} v^{(2)} + {}_3 C_3 u^{(0)} v^{(3)}$

二項係数の値を計算します。

${}_3 C_0 = 1$

${}_3 C_1 = 3$

${}_3 C_2 = 3$

${}_3 C_3 = 1$

それぞれの項を計算します。

${}_3 C_0 u^{(3)} v^{(0)} = 1 \cdot 0 \cdot e^x = 0$

${}_3 C_1 u^{(2)} v^{(1)} = 3 \cdot 2 \cdot e^x = 6e^x$

${}_3 C_2 u^{(1)} v^{(2)} = 3 \cdot (2x - 3) \cdot e^x = (6x - 9)e^x$

${}_3 C_3 u^{(0)} v^{(3)} = 1 \cdot (x^2 - 3x + 1) \cdot e^x = (x^2 - 3x + 1)e^x$

これらの項をすべて足し合わせます。

$(uv)^{(3)} = 0 + 6e^x + (6x - 9)e^x + (x^2 - 3x + 1)e^x$

$(uv)^{(3)} = (6 + 6x - 9 + x^2 - 3x + 1)e^x$

$(uv)^{(3)} = (x^2 + 3x - 2)e^x$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 3x - 2)e^x$