問題は大きく分けて4つあります。 (1) 2つの線分ABとCDが点Oで交わっているとき、AO=2CO, DO=2BOならば、$\triangle AOD \sim \triangle COB$であることを証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させます。 (2) 図における角$x$の大きさを求める問題です。 (3) 直角三角形において、$x$の長さを求める問題です。 (4) ヒストグラムに関する問題です。

1. 問題の内容

問題は大きく分けて4つあります。

(1) 2つの線分ABとCDが点Oで交わっているとき、AO=2CO, DO=2BOならば、$\triangle AOD \sim \triangle COB$であることを証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させます。

(2) 図における角$x$の大きさを求める問題です。

(3) 直角三角形において、$x$の長さを求める問題です。

(4) ヒストグラムに関する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle AOD$と$\triangle COB$について、

$AO=2CO$から、$AO:CO = 2:1$

$DO=2BO$から、$DO:BO = 2:1$

よって、$AO:CO = DO:BO$ ... ①

対頂角は等しいから、$\angle AOD = \angle COB$ ... ②

①, ②から、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle AOD \sim \triangle COB$

(2) (1) 円周角の定理より、中心角は円周角の2倍なので、$x = 65 \times 2 = 130^\circ$

(2) 円周角の定理より、$41+20 = x = 61^\circ$

(3) 円周角の定理より、$x = 32 \times 2 = 64^\circ$

(3) (1) 三平方の定理より、$x = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

(2) 三平方の定理より、$x = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(3) $30^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$の直角三角形なので、$x = 3\sqrt{3}$

(4) 三平方の定理より、$x = \sqrt{9^2 - 7^2 - 3^2} = \sqrt{81 - 49} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

(4) (1) 記録が50cm以上の生徒は6人です。

(2) 記録が50cm以上の生徒の人数は6人なので、全体の$\frac{6}{20} \times 100 = 30$%です。

(3) 記録が30cm以上40cm未満の生徒は4人なので、相対度数は$\frac{4}{20} = 0.2$です。

(4) 20人の垂直跳びの平均値は、

$\frac{1}{20}(10 \times 2 + 20 \times 3 + 30 \times 4 + 40 \times 5 + 50 \times 3 + 60 \times 3) = \frac{1}{20}(20+60+120+200+150+180) = \frac{730}{20} = 36.5$ cm

3. 最終的な答え

(1)

$AO:CO = 2:1$

$\angle AOD = \angle COB$

2組の辺の比とその間の角

$\triangle COB$

(2)

(1) $x = 130^\circ$

(2) $x = 61^\circ$

(3) $x = 64^\circ$

(3)

(1) $x = 5$ cm

(2) $x = 2\sqrt{2}$ cm

(3) $x = 3\sqrt{3}$ cm

(4) $x = 4\sqrt{2}$ cm

(4)

(1) 6人

(2) 30%

(3) 0.2

(4) 36.5 cm