三角形ABCの外心をOとする。図において、角$\alpha$と角$\beta$の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心をOとする。図において、角$\alpha$と角$\beta$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

外心は三角形の各頂点から等距離にある点である。つまり、OA = OB = OCとなる。

これにより、三角形OAB、三角形OBC、三角形OCAは二等辺三角形となる。

三角形OABにおいて、OA = OBより、$\angle OAB = \angle OBA = 21^\circ$となる。

同様に、三角形OCAにおいて、OA = OCより、$\angle OAC = \angle OCA = 35^\circ$となる。

$\alpha$は$\angle BAC$の大きさであるから、

$\alpha = \angle OAB + \angle OAC = 21^\circ + 35^\circ$

$\angle OBC$は$\beta$である。

三角形OBCにおいて、OB = OCより、$\angle OBC = \angle OCB$である。

$\angle OCB = \angle BCA - \angle OCA$

$\angle BCA = 35^\circ$ より

$\angle OBC = \beta = \angle OCB$となる。

ここで、三角形ABCの内角の和は$180^\circ$であるから、

$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$

$\angle ABC = \beta + 21^\circ$

$\angle BCA = 35^\circ$

$\angle CAB = \alpha$

よって、$\beta + 21^\circ + 35^\circ + \alpha = 180^\circ$

$\alpha = 21^\circ + 35^\circ = 56^\circ$

$\beta + 21^\circ + 35^\circ + 56^\circ = 180^\circ$

$\beta + 112^\circ = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$

3. 最終的な答え

$\alpha = 56^\circ$

$\beta = 29^\circ$