三角形ABCにおいて、$AB = 4, BC = 8, CA = 6$である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとするとき、線分BDの長さを求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 4, BC = 8, CA = 6$である。三角形ABCの内心をIとし、直線AIと辺BCの交点をDとするとき、線分BDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

内心Iから各辺に下ろした垂線の足は内接円の接点であり、角の二等分線の性質を利用します。具体的には、角の二等分線定理を用います。

角の二等分線定理より、三角形ABCにおいて、角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとすると、

$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$

が成り立ちます。問題文より、$AB = 4, AC = 6, BC = 8$なので、

$\frac{BD}{CD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$CD = BC - BD$であるので、

$\frac{BD}{8 - BD} = \frac{2}{3}$

$3BD = 2(8 - BD)$

$3BD = 16 - 2BD$

$5BD = 16$

$BD = \frac{16}{5}$

3. 最終的な答え

BD = 16/5