三角形 ABC において、$|AB| = 1$, $|AC| = 2$, $|BC| = \sqrt{6}$ が成り立つ。三角形 ABC の外接円の中心を O とし、直線 AO と外接円との A 以外の交点を P とする。 (1) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の内積を求める。 (2) $\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ が成り立つような実数 s, t を求める。 (3) 直線 AP と直線 BC の交点を D とするとき、線分 AD の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、$|AB| = 1$, $|AC| = 2$, $|BC| = \sqrt{6}$ が成り立つ。三角形 ABC の外接円の中心を O とし、直線 AO と外接円との A 以外の交点を P とする。

(1) $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の内積を求める。

(2) $\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ が成り立つような実数 s, t を求める。

(3) 直線 AP と直線 BC の交点を D とするとき、線分 AD の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ を求める。

余弦定理より

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$(\sqrt{6})^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos{\angle BAC}$

$6 = 1 + 4 - 4\cos{\angle BAC}$

$4\cos{\angle BAC} = -1$

$\cos{\angle BAC} = -\frac{1}{4}$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| |AC| \cos{\angle BAC}$

$= 1 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{4})$

$= -\frac{1}{2}$

(2) $\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$ となる $s, t$ を求める。

AP は外接円の直径なので、$\angle ABC = 90^\circ$ または $\angle ACB = 90^\circ$

また、$\angle PBC = \angle PAC$, $\angle PCB = \angle PAB$

$\angle ABP = 90^\circ$, よって $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BP} = 0$.

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP}$.

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) = 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} - |AB|^2 = 0$

$\overrightarrow{AB} \cdot (s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}) - 1 = 0$

$s |\overrightarrow{AB}|^2 + t (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) - 1 = 0$

$s - \frac{t}{2} = 1$

$\angle ACP = 90^\circ$, よって $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CP} = 0$.

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP}$.

$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AC} \cdot (\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = 0$

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AP} - |AC|^2 = 0$

$\overrightarrow{AC} \cdot (s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}) - 4 = 0$

$s (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}) + t |\overrightarrow{AC}|^2 - 4 = 0$

$-\frac{s}{2} + 4t = 4$

$s - \frac{t}{2} = 1$

$-s + 8t = 8$

$8t - \frac{t}{2} = 9$

$\frac{15}{2}t = 9$

$t = \frac{18}{15} = \frac{6}{5}$

$s = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$

よって、 $s = \frac{8}{5}, t = \frac{6}{5}$

(3) $\overrightarrow{AD} = k \overrightarrow{AP} = ks \overrightarrow{AB} + kt \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AD} = (1-l) \overrightarrow{AB} + l \overrightarrow{AC}$

$ks = 1-l$, $kt = l$

$ks+kt = 1$

$k(s+t) = 1$

$k(\frac{8}{5}+\frac{6}{5}) = 1$

$\frac{14}{5}k = 1$

$k = \frac{5}{14}$

$\overrightarrow{AD} = \frac{5}{14} \overrightarrow{AP}$

$|\overrightarrow{AD}| = \frac{5}{14} |\overrightarrow{AP}|$

$\overrightarrow{AP} = \frac{8}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{6}{5} \overrightarrow{AC}$

$|\overrightarrow{AP}|^2 = (\frac{8}{5})^2 |\overrightarrow{AB}|^2 + (\frac{6}{5})^2 |\overrightarrow{AC}|^2 + 2(\frac{8}{5})(\frac{6}{5}) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

$= \frac{64}{25} \cdot 1 + \frac{36}{25} \cdot 4 + 2(\frac{48}{25}) (-\frac{1}{2})$

$= \frac{64}{25} + \frac{144}{25} - \frac{48}{25} = \frac{160}{25} = \frac{32}{5}$

$|\overrightarrow{AP}| = \sqrt{\frac{32}{5}} = \frac{4\sqrt{10}}{5}$

$|\overrightarrow{AD}| = \frac{5}{14} \cdot \frac{4\sqrt{10}}{5} = \frac{2\sqrt{10}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{2}$

(2) $s = \frac{8}{5}, t = \frac{6}{5}$

(3) $\frac{2\sqrt{10}}{7}$