与えられた3つの定積分の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分の値を計算します。

2. 解き方の手順

1. $\int_{-1}^{1} (e^x + e^{-x})^2 dx$

まず、被積分関数を展開します。

$(e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2e^x e^{-x} + e^{-2x} = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$

したがって、

$\int_{-1}^{1} (e^x + e^{-x})^2 dx = \int_{-1}^{1} (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) dx$

$= [\frac{1}{2}e^{2x} + 2x - \frac{1}{2}e^{-2x}]_{-1}^{1}$

$= (\frac{1}{2}e^{2} + 2 - \frac{1}{2}e^{-2}) - (\frac{1}{2}e^{-2} - 2 - \frac{1}{2}e^{2})$

$= \frac{1}{2}e^{2} + 2 - \frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{2}e^{-2} + 2 + \frac{1}{2}e^{2}$

$= e^{2} + 4 - e^{-2}$

$= e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 4$

2. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + \sin x)^2 dx$

まず、被積分関数を展開します。

$(\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2\cos x \sin x + \sin^2 x = 1 + 2\cos x \sin x = 1 + \sin 2x$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + \sin x)^2 dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin 2x) dx$

$= [x - \frac{1}{2}\cos 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\cos \pi) - (0 - \frac{1}{2}\cos 0)$

$= \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}(-1) - (0 - \frac{1}{2}(1))$

$= \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$= \frac{\pi}{2} + 1$

3. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x dx$

半角の公式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を使います。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx$

$= [\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$= (\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}\sin \frac{\pi}{2}) - (0 - \frac{1}{4}\sin 0)$

$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}(1) - 0$

$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

1. $e^2 - \frac{1}{e^2} + 4$

2. $\frac{\pi}{2} + 1$

3. $\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}$