与えられた3階線形非同次微分方程式を解く問題です。 $y''' + y'' - y' - y = e^x$

1. 問題の内容

与えられた3階線形非同次微分方程式を解く問題です。

$y''' + y'' - y' - y = e^x$

2. 解き方の手順

まず、同次方程式を解き、次に非同次方程式の特殊解を見つけます。最後に、同次方程式の一般解と非同次方程式の特殊解を足し合わせて、非同次方程式の一般解を求めます。

(1) 同次方程式 $y''' + y'' - y' - y = 0$ の解を求める。

特性方程式は $r^3 + r^2 - r - 1 = 0$ となります。

これを因数分解すると、$(r-1)(r+1)^2 = 0$ となります。

したがって、特性根は $r_1 = 1$ と $r_2 = r_3 = -1$ です。

よって、同次方程式の一般解は $y_h(x) = c_1e^x + c_2e^{-x} + c_3xe^{-x}$ となります。ここで、$c_1$, $c_2$, $c_3$ は任意定数です。

(2) 非同次方程式 $y''' + y'' - y' - y = e^x$ の特殊解を求める。

右辺が $e^x$ なので、$y_p(x) = Axe^x$ と仮定します。ここで、$A$ は定数です。

$y_p'(x) = Ae^x + Axe^x = (A+Ax)e^x$

$y_p''(x) = Ae^x + Ae^x + Axe^x = (2A+Ax)e^x$

$y_p'''(x) = Ae^x + Ae^x + Axe^x = (3A+Ax)e^x$

これらを元の微分方程式に代入すると、

$(3A+Ax)e^x + (2A+Ax)e^x - (A+Ax)e^x - Axe^x = e^x$

$(3A+2A-A)e^x + (Ax+Ax-Ax-Ax)e^x = e^x$

$4Ae^x = e^x$

したがって、$4A = 1$ となり、$A = \frac{1}{4}$ です。

よって、特殊解は $y_p(x) = \frac{1}{4}xe^x$ です。

(3) 非同次方程式の一般解を求める。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1e^x + c_2e^{-x} + c_3xe^{-x} + \frac{1}{4}xe^x$

3. 最終的な答え

$y(x) = c_1e^x + c_2e^{-x} + c_3xe^{-x} + \frac{1}{4}xe^x$