(1) $1.4142 < \sqrt{2} < 1.4143$ であることを利用して、$|\sqrt{2} - a| < 0.001$ を満たす有理数 $a$ を一つ求める。 (2) $3.141 < \pi < 3.142$ であることを利用して、開区間 $(\pi, \pi + 0.01)$ に属する有理数を一つ求める。

1. 問題の内容

(1) $1.4142 < \sqrt{2} < 1.4143$ であることを利用して、$|\sqrt{2} - a| < 0.001$ を満たす有理数 $a$ を一つ求める。

(2) $3.141 < \pi < 3.142$ であることを利用して、開区間 $(\pi, \pi + 0.01)$ に属する有理数を一つ求める。

2. 解き方の手順

(1) $|\sqrt{2} - a| < 0.001$ は、$-0.001 < \sqrt{2} - a < 0.001$ と同値である。

これを $a$ について解くと、$\sqrt{2} - 0.001 < a < \sqrt{2} + 0.001$ となる。

$1.4142 < \sqrt{2} < 1.4143$ より、

$1.4142 - 0.001 < \sqrt{2} - 0.001 < a < \sqrt{2} + 0.001 < 1.4143 + 0.001$

$1.4132 < a < 1.4153$ となる。この範囲にある有理数 $a$ の一つとして、$a = 1.414$ が挙げられる。

(2) $3.141 < \pi < 3.142$ であるから、$\pi + 0.01$ の範囲は $3.141 + 0.01 < \pi + 0.01 < 3.142 + 0.01$、つまり $3.151 < \pi + 0.01 < 3.152$ となる。

したがって、開区間 $(\pi, \pi + 0.01)$ は $(3.141, 3.152)$ に含まれる。この区間に含まれる有理数の一つとして、$3.1415$ が挙げられる。

3. 最終的な答え

(1) $a = 1.414$

(2) $3.1415$