R3の基底 $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ から、基底 $v'_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v'_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$, $v'_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ への変換行列 $P$ を求めよ。

1. 問題の内容

R3の基底 $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ から、基底 $v'_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $v'_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$, $v'_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ への変換行列 $P$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、新しい基底 $v'_1$, $v'_2$, $v'_3$ を古い基底 $v_1$, $v_2$, $v_3$ の線形結合で表します。つまり、

$v'_1 = a_{11}v_1 + a_{21}v_2 + a_{31}v_3$

$v'_2 = a_{12}v_1 + a_{22}v_2 + a_{32}v_3$

$v'_3 = a_{13}v_1 + a_{23}v_2 + a_{33}v_3$

となる $a_{ij}$ を求めます。

それぞれの式を成分ごとに書き下すと、

$v'_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = a_{11} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_{21} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + a_{31} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} + a_{21} \\ a_{11} + a_{21} + a_{31} \\ a_{21} + a_{31} \end{bmatrix}$

$v'_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} = a_{12} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_{22} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + a_{32} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{12} + a_{22} \\ a_{12} + a_{22} + a_{32} \\ a_{22} + a_{32} \end{bmatrix}$

$v'_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = a_{13} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + a_{23} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + a_{33} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{13} + a_{23} \\ a_{13} + a_{23} + a_{33} \\ a_{23} + a_{33} \end{bmatrix}$

それぞれの式から連立方程式を解くと、

$v'_1$ について: $a_{11} + a_{21} = 1$, $a_{11} + a_{21} + a_{31} = 2$, $a_{21} + a_{31} = 1$

これより $a_{31} = 1$, $a_{21} = 0$, $a_{11} = 1$.

$v'_2$ について: $a_{12} + a_{22} = 2$, $a_{12} + a_{22} + a_{32} = 3$, $a_{22} + a_{32} = 2$

これより $a_{32} = 1$, $a_{22} = 1$, $a_{12} = 1$.

$v'_3$ について: $a_{13} + a_{23} = 1$, $a_{13} + a_{23} + a_{33} = 1$, $a_{23} + a_{33} = 2$

これより $a_{33} = 1$, $a_{23} = 1$, $a_{13} = 0$.

従って、変換行列 $P$ は各 $v'_i$ の係数を列ベクトルとして並べたものなので、

$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$