3点O(0,0), A(a, b), B(c, d)を結んでできる三角形の面積を求める公式 $S = \frac{1}{2} |ad - bc|$ を、ベクトルの外積を使って説明してほしい。

1. 問題の内容

3点O(0,0), A(a, b), B(c, d)を結んでできる三角形の面積を求める公式 $S = \frac{1}{2} |ad - bc|$ を、ベクトルの外積を使って説明してほしい。

2. 解き方の手順

三角形OABの面積を求めることを考えます。ベクトル $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ をそれぞれ $\vec{OA} = (a, b)$、$\vec{OB} = (c, d)$ とします。

この2つのベクトルが張る平行四辺形の面積は、ベクトルの外積の絶対値で計算できます。

2次元の場合、外積は以下のように定義できます。

$\vec{OA} \times \vec{OB} = ad - bc$

平行四辺形の面積は $|ad - bc|$ となります。

三角形OABの面積は、この平行四辺形の面積の半分であるため、

$S = \frac{1}{2} |ad - bc|$

となります。

この公式は、行列式を使って表現することもできます。

$S = \frac{1}{2} |det \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}|$

ここで、$det \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = ad - bc$ です。

3. 最終的な答え

$S = \frac{1}{2} |ad - bc|$