1辺の長さが $2a$ ($a>0$) の正三角形の各頂点から等しい長さ $x$ の正方形を切り取り、残った部分を折り曲げてフタのない三角柱の容器を作ります。この容器の容積を $V$ とします。 (1) 容器の底面の正三角形の1辺の長さと、容器の高さを $x$ で表してください。 (2) $x$ の取りうる値の範囲を求めてください。 (3) $V$ を $x$ で表し、$V$ の最大値と、そのときの $x$ の値を求めてください。

1. 問題の内容

1辺の長さが $2a$ ($a>0$) の正三角形の各頂点から等しい長さ $x$ の正方形を切り取り、残った部分を折り曲げてフタのない三角柱の容器を作ります。この容器の容積を $V$ とします。

(1) 容器の底面の正三角形の1辺の長さと、容器の高さを $x$ で表してください。

(2) $x$ の取りうる値の範囲を求めてください。

(3) $V$ を $x$ で表し、$V$ の最大値と、そのときの $x$ の値を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 底面の正三角形の1辺の長さと容器の高さ

* 底面の正三角形の1辺の長さは、$2a$ から $x$ が2つ分引かれるので、$2a - 2x$ となります。

* 容器の高さは $x$ となります。

(2) $x$ の取りうる値の範囲

* $x$ は長さなので、$x > 0$ である必要があります。

* 底面の正三角形の1辺の長さ $2a - 2x$ も正である必要があります。

$2a - 2x > 0$

$2x < 2a$

$x < a$

* したがって、$x$ の取りうる値の範囲は、$0 < x < a$ となります。

(3) $V$ を $x$ で表し、$V$ の最大値とそのときの $x$ の値を求める。

* 底面の正三角形の面積 $S$ は、$S = \frac{\sqrt{3}}{4} (2a-2x)^2 = \sqrt{3}(a-x)^2$ となります。

* 容器の容積 $V$ は、$V = S \cdot x = \sqrt{3} x (a-x)^2$ となります。

* $V$ を最大にする $x$ を求めるため、$V$ を $x$ で微分します。

$V = \sqrt{3} x (a^2 - 2ax + x^2) = \sqrt{3} (a^2 x - 2ax^2 + x^3)$

$\frac{dV}{dx} = \sqrt{3} (a^2 - 4ax + 3x^2) = \sqrt{3}(3x-a)(x-a)$

* $\frac{dV}{dx} = 0$ となる $x$ は $x = a$ と $x = \frac{a}{3}$。$0 < x < a$ より $x=\frac{a}{3}$ のみ考える。

* 増減表を書くと、$0 < x < a$ で、$x = \frac{a}{3}$ のとき $V$ は最大になることがわかる。

| x | 0 | ... | a/3 | ... | a |

| :---- | :-- | :---- | :--- | :---- | :-- |

| dV/dx | | + | 0 | - | |

| V | 0 | ↑ | 最大 | ↓ | 0 |

* $x = \frac{a}{3}$ のとき、$V = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{3} (a - \frac{a}{3})^2 = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{3} (\frac{2a}{3})^2 = \frac{4 \sqrt{3} a^3}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 容器の底面の正三角形の1辺の長さ：$2a - 2x$

容器の高さ：$x$

(2) $x$ の取りうる値の範囲：$0 < x < a$

(3) $V = \sqrt{3} x (a-x)^2$

$V$ の最大値：$\frac{4 \sqrt{3} a^3}{27}$

そのときの $x$ の値：$\frac{a}{3}$