複素数 $\alpha = -1 + 2i$ と $\beta = 3 - i$ が与えられている。 (1) 点 $\beta$ を、点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点 $\gamma$ を表す複素数を求める。 (2) 点 $\alpha$ を、点 $\beta$ を中心として $-\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点 $\delta$ を表す複素数を求める。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = -1 + 2i$ と $\beta = 3 - i$ が与えられている。

(1) 点 $\beta$ を、点 $\alpha$ を中心として $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点 $\gamma$ を表す複素数を求める。

(2) 点 $\alpha$ を、点 $\beta$ を中心として $-\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点 $\delta$ を表す複素数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $\beta$ を点 $\alpha$ を中心に $\frac{\pi}{2}$ だけ回転させた点 $\gamma$ は、複素数平面上で $\frac{\beta-\alpha}{|\beta-\alpha|}$ を $\frac{\pi}{2}$ だけ回転させて $\alpha$ を足した点である。

回転させる操作は、複素数で $e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i$ をかけることに対応する。

したがって、$\gamma = \alpha + (\beta - \alpha)i$ である。

$\alpha = -1 + 2i$ と $\beta = 3 - i$ を代入して計算する。

$\gamma = (-1 + 2i) + (3 - i - (-1 + 2i))i = -1 + 2i + (4 - 3i)i = -1 + 2i + 4i - 3i^2 = -1 + 2i + 4i + 3 = 2 + 6i$

(2) 点 $\alpha$ を点 $\beta$ を中心に $-\frac{\pi}{6}$ だけ回転させた点 $\delta$ は、複素数平面上で $\frac{\alpha-\beta}{|\alpha-\beta|}$ を $-\frac{\pi}{6}$ だけ回転させて $\beta$ を足した点である。

回転させる操作は、複素数で $e^{-i\frac{\pi}{6}} = \cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} - i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ をかけることに対応する。

したがって、$\delta = \beta + (\alpha - \beta)(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)$ である。

$\alpha = -1 + 2i$ と $\beta = 3 - i$ を代入して計算する。

$\delta = (3 - i) + (-1 + 2i - (3 - i))(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = (3 - i) + (-4 + 3i)(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = 3 - i + (-2\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i + 2i - \frac{3}{2}i^2) = 3 - i + (-2\sqrt{3} + \frac{3}{2} + (\frac{3\sqrt{3}}{2} + 2)i) = (3 - 2\sqrt{3} + \frac{3}{2}) + (-1 + \frac{3\sqrt{3}}{2} + 2)i = (\frac{9}{2} - 2\sqrt{3}) + (1 + \frac{3\sqrt{3}}{2})i$

3. 最終的な答え

(1) $\gamma = 2 + 6i$

(2) $\delta = (\frac{9}{2} - 2\sqrt{3}) + (1 + \frac{3\sqrt{3}}{2})i$