三角関数の加法定理の公式を用いて、与えられた3つの式と等しい式を選択肢の中から選び、その番号を答える問題です。

1. 問題の内容

三角関数の加法定理の公式を用いて、与えられた3つの式と等しい式を選択肢の中から選び、その番号を答える問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sin(a + b)$ について：

加法定理の公式は、

$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

です。選択肢の中でこれと一致するものは(1)です。

(2) $\cos(a - b)$ について：

加法定理の公式は、

$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

です。選択肢の中でこれと一致するものは(5)です。

(3) $\tan(-a + b)$ について：

$\tan(b - a)$と書き換えることができます。加法定理の公式は、

$\tan(b - a) = \frac{\tan b - \tan a}{1 + \tan b \tan a} = \frac{-\tan a + \tan b}{1 + (-\tan a) \tan b} = \frac{\tan b + (-\tan a)}{1 + \tan b (-\tan a)} = \frac{\tan(b) + \tan(-a)}{1 - \tan(b) \tan(-a)}$

$\tan(-a) = - \tan(a)$を用いて、

$\tan(b - a) = \frac{\tan b - \tan a}{1 + \tan b \tan a}$

分子と分母に-1をかけると、

$\tan(b - a) = \frac{\tan a - \tan b}{-1 - \tan a \tan b}$　これは選択肢にありません。

$\tan(b - a) = \frac{\tan b - \tan a}{1 + \tan a \tan b}$

ここで分子の符号を反転させたいので, 全体にマイナスをかけると、

$\tan(b-a) = - \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$.

分子に-1をかけると,

$\tan(b - a) = \frac{-(\tan a - \tan b)}{1 + \tan a \tan b}$

$= \frac{-\tan a + \tan b}{1 + \tan a \tan b}$.

これは選択肢12番と一致します。

3. 最終的な答え

1: 1

2: 5

3: 12