三角形ABCにおいて、AB=20、∠A=52°、∠B=70°である。CからABに下ろした垂線をCHとする。ACとCHの長さを求めよ。三角関数表を用いること。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=20、∠A=52°、∠B=70°である。CからABに下ろした垂線をCHとする。ACとCHの長さを求めよ。三角関数表を用いること。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は180°であるから、∠Cを求める。

∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 52° - 70° = 58°

次に、正弦定理を用いてACの長さを求める。

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{20}{\sin 58^\circ} = \frac{AC}{\sin 70^\circ}$

$AC = \frac{20 \sin 70^\circ}{\sin 58^\circ}$

三角関数表より、sin 70° ≈ 0.940、sin 58° ≈ 0.848である。

$AC = \frac{20 \times 0.940}{0.848} = \frac{18.8}{0.848} \approx 22.17$

次に、直角三角形ACHに着目して、CHの長さを求める。

$\sin A = \frac{CH}{AC}$

$CH = AC \sin A = AC \sin 52^\circ$

三角関数表より、sin 52° ≈ 0.788である。

$CH = 22.17 \times 0.788 \approx 17.47$

3. 最終的な答え

AC ≈ 22.17

CH ≈ 17.47