与えられた6つの二次関数について、それぞれの頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの二次関数について、それぞれの頂点の座標と軸の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の頂点と軸を求めるには、平方完成を行うのが一般的です。平方完成を行うことで、関数を $y = a(x - p)^2 + q$ の形に変形できます。このとき、頂点の座標は $(p, q)$ であり、軸の方程式は $x = p$ となります。

各関数の平方完成と頂点・軸の導出は以下の通りです。

(1) $y = x^2 - 6x + 5$

$y = (x^2 - 6x) + 5 = (x^2 - 6x + 9 - 9) + 5 = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$

頂点は $(3, -4)$、軸は $x = 3$

(2) $y = 2x^2 + 8x + 3$

$y = 2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x + 2)^2 - 8 + 3 = 2(x + 2)^2 - 5$

頂点は $(-2, -5)$、軸は $x = -2$

(3) $y = -3x^2 + 6x + 1$

$y = -3(x^2 - 2x) + 1 = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -3(x - 1)^2 + 3 + 1 = -3(x - 1)^2 + 4$

頂点は $(1, 4)$、軸は $x = 1$

(4) $y = -x^2 - 4x + 2$

$y = -(x^2 + 4x) + 2 = -(x^2 + 4x + 4 - 4) + 2 = -(x + 2)^2 + 4 + 2 = -(x + 2)^2 + 6$

頂点は $(-2, 6)$、軸は $x = -2$

(5) $y = 2x^2 - 6x - 1$

$y = 2(x^2 - 3x) - 1 = 2(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 1 = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - 1 = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{2}$

頂点は $(\frac{3}{2}, -\frac{11}{2})$、軸は $x = \frac{3}{2}$

(6) $y = -x^2 + 3x$

$y = -(x^2 - 3x) = -(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$

頂点は $(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$、軸は $x = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(3, -4)$、軸: $x = 3$

(2) 頂点: $(-2, -5)$、軸: $x = -2$

(3) 頂点: $(1, 4)$、軸: $x = 1$

(4) 頂点: $(-2, 6)$、軸: $x = -2$

(5) 頂点: $(\frac{3}{2}, -\frac{11}{2})$、軸: $x = \frac{3}{2}$

(6) 頂点: $(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$、軸: $x = \frac{3}{2}$