関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆関数を求め、元の関数と一致するという条件から $p$ の値を求めます。

まず、与えられた関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ を $x$ について解きます。

$y(x-p) = 2x+1$

$yx - py = 2x+1$

$yx - 2x = py + 1$

$x(y-2) = py+1$

$x = \frac{py+1}{y-2}$

したがって、逆関数は $y = \frac{px+1}{x-2}$ となります。

問題の条件より、逆関数が元の関数と一致するので、

$\frac{2x+1}{x-p} = \frac{px+1}{x-2}$

が成り立ちます。

この等式が成り立つためには、分子と分母の比率が等しい必要があります。

つまり、$2x+1 = k(px+1)$ と $x-p = k(x-2)$ が成り立つような定数 $k$ が存在します。

これらの式から、$2 = kp$, $1=k$, $1=k$, $-p = -2k$ が得られます。

$k=1$ なので、

$2 = p$ かつ $p = 2$

したがって、$p=2$ です。

あるいは、

$\frac{2x+1}{x-p} = \frac{px+1}{x-2}$

がすべての $x$ について成り立つことから、

$(2x+1)(x-2) = (px+1)(x-p)$

$2x^2 -4x + x -2 = px^2 -p^2x + x - p$

$2x^2 -3x -2 = px^2 + (1-p^2)x -p$

この式が $x$ に関わらず常に成り立つためには、各次数の係数が等しくなければなりません。

したがって、$2 = p$, $-3 = 1-p^2$, $-2 = -p$

$p=2$

$-3 = 1-4$ これは成り立つ。

$-2=-2$ これは成り立つ。

よって、$p=2$

3. 最終的な答え

$p = 2$