長方形ABCDにおいて、AB = 4cm, BC = 6cmである。点Pは秒速1cmでAからDへ、点Qは秒速2cmでBとCの間を往復運動する。PとQは同時に出発し、PがDに到達したら運動を終える。 (1) QがCに到達するのは何秒後か、そのときのPQの長さを求める。 (2) P, Qの運動が終わるのは何秒後か、そのときのPQの長さを求める。 (3) PQの長さが4cmになるのは何秒後か。 (4) 出発してからx秒後に、四角形ABQPの面積が長方形ABCDの面積の$\frac{2}{3}$になったとき、AP + BQの値とxの値を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB = 4cm, BC = 6cmである。点Pは秒速1cmでAからDへ、点Qは秒速2cmでBとCの間を往復運動する。PとQは同時に出発し、PがDに到達したら運動を終える。

(1) QがCに到達するのは何秒後か、そのときのPQの長さを求める。

(2) P, Qの運動が終わるのは何秒後か、そのときのPQの長さを求める。

(3) PQの長さが4cmになるのは何秒後か。

(4) 出発してからx秒後に、四角形ABQPの面積が長方形ABCDの面積の$\frac{2}{3}$になったとき、AP + BQの値とxの値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

QがCに到達する時間は、BCの長さを速さで割ればよい。

$6 \div 2 = 3$ 秒後

Pは3秒で3cm進むので、AP = 3cm。PB = 4cm。

PQの長さを求めるには、三平方の定理を使う。

$PQ = \sqrt{PB^2 + BQ^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ cm

(2)

PがDに到達するまでの時間は、ADの長さを速さで割ればよい。

$6 \div 1 = 6$ 秒後

Qは6秒で$2 \times 6 = 12$ cm進む。これはBからCまで往復し、BからCまで行って、CからBに2cm戻った位置である。つまり、BQ = 2cm。

PQの長さを求めるには、三平方の定理を使う。

$PQ = \sqrt{AB^2 + BQ^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ cm

(3)

t秒後のAP = t, BQ = 2t.

$PQ^2 = AB^2 + (BQ-AP)^2$

$4^2 = 4^2 + (2t-0)^2$

$16=4^2 + (2t)^2$

$PQ = 4$

$PQ^2 = 4^2$

$PQ^2 = (AP - BQ)^2 + AB^2$

$16 = (t - (2t - 2 * 6n))^2 + 4^2$

ただし、$n$ はQが往復した回数とする。

$16 = (t - 2t)^2 + 16 \Rightarrow 16 = t^2 + 16$

$t^2 = 0$より、$t = 0$

往復を考慮すると、

$t=1$のとき,点Qは2 cm進み、点Cへ4 cm手前、

$PQ=\sqrt{1+(4-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\neq 4$

点Qは、点Cへ行ったあと点Cから2 cm進んだ地点で、点Bから4 cm地点である場合。

$t=3$

$PQ = \sqrt{(t-4)^2 + (4-t)^2}$

$16 = (4)^2 + (-2)^2 = 16+4$

$PQ^2 = (4-2t)^2 + 4^2$

$16=(4-2t)^2 + 16$

$(4-2t)^2=0$

$4-2t=0$

$t=2$

$PQ^2 = (t-BC+BC-2t)^2+4^2$

$BC-2t=6-2*1.5=3$

このとき

$6-2=0$

$t=3$

(4)

長方形ABCDの面積は、$4 \times 6 = 24$

四角形ABQPの面積は$\frac{2}{3} \times 24 = 16$

台形ABQPの面積は$\frac{1}{2}(AP+BQ) \times AB$

$16 = \frac{1}{2}(AP+BQ) \times 4$

$16 = 2(AP+BQ)$

$AP + BQ = 8$

$AP= x$

BQ = 2x

$x + 2x = 8$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 3秒後、4cm

(2) 6秒後、$2\sqrt{5}$cm

(3) 計算中

(4) (ア) 8 (イ) $\frac{8}{3}$