与えられた2次関数について、グラフを書き、頂点と軸を求める問題です。与えられた2次関数は以下の通りです。 (2) $y = 2(x-2)^2 - 4$ (3) $y = -2(x+1)^2 + 2$ (4) $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 1$

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、グラフを書き、頂点と軸を求める問題です。与えられた2次関数は以下の通りです。

(2) $y = 2(x-2)^2 - 4$

(3) $y = -2(x+1)^2 + 2$

(4) $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 1$

2. 解き方の手順

(2) $y = 2(x-2)^2 - 4$について

* 頂点の座標は$(p, q)$とおくと、$y = a(x-p)^2 + q$の形から、$y = 2(x-2)^2 - 4$の頂点は$(2, -4)$です。

* 軸は、頂点を通る縦線なので、$x = 2$です。

* $x^2$の係数が正なので、グラフは下に凸です。

* 切片は、$x = 0$を代入すると、$y = 2(0-2)^2 - 4 = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$です。

よって、切片は$(0, 4)$です。

(3) $y = -2(x+1)^2 + 2$について

* 頂点の座標は$(p, q)$とおくと、$y = a(x-p)^2 + q$の形から、$y = -2(x+1)^2 + 2$の頂点は$(-1, 2)$です。

* 軸は、頂点を通る縦線なので、$x = -1$です。

* $x^2$の係数が負なので、グラフは上に凸です。

* 切片は、$x = 0$を代入すると、$y = -2(0+1)^2 + 2 = -2(1) + 2 = -2 + 2 = 0$です。

よって、切片は$(0, 0)$です。

(4) $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 1$について

* 頂点の座標は$(p, q)$とおくと、$y = a(x-p)^2 + q$の形から、$y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 - 1$の頂点は$(-2, -1)$です。

* 軸は、頂点を通る縦線なので、$x = -2$です。

* $x^2$の係数が負なので、グラフは上に凸です。

* 切片は、$x = 0$を代入すると、$y = -\frac{1}{2}(0+2)^2 - 1 = -\frac{1}{2}(4) - 1 = -2 - 1 = -3$です。

よって、切片は$(0, -3)$です。

3. 最終的な答え

(2)

* 頂点: $(2, -4)$

* 軸: $x = 2$

* グラフの概形: 下に凸で頂点が$(2, -4)$、切片が$(0, 4)$の放物線

(3)

* 頂点: $(-1, 2)$

* 軸: $x = -1$

* グラフの概形: 上に凸で頂点が$(-1, 2)$、切片が$(0, 0)$の放物線

(4)

* 頂点: $(-2, -1)$

* 軸: $x = -2$

* グラフの概形: 上に凸で頂点が$(-2, -1)$、切片が$(0, -3)$の放物線