不等式 $\sqrt{x+3} < x+1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+3} < x+1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上である必要があるので、

$x+3 \geq 0$

$x \geq -3$

次に、不等式の両辺を2乗します。

$\sqrt{x+3} < x+1$

$x+3 < (x+1)^2$

$x+3 < x^2 + 2x + 1$

$0 < x^2 + x - 2$

$x^2 + x - 2 > 0$

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $x^2 + x - 2 = 0$ の解を求めます。

$(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

したがって、2次不等式 $x^2 + x - 2 > 0$ の解は、

$x < -2$ または $x > 1$

最初に求めた条件 $x \geq -3$ と組み合わせます。

$x \geq -3$ かつ ($x < -2$ または $x > 1$) なので、

$-3 \leq x < -2$ または $x > 1$

さらに、不等式 $\sqrt{x+3} < x+1$ において、$x+1$ が負の場合、不等式は成り立ちません。

$x+1 > 0$ より $x > -1$ である必要があります。

したがって、$-3 \leq x < -2$ は不適となります。

よって、$x > 1$ のみが解の候補となります。

$x>1$ を満たす適当な値（例えば$x=2$）を元の不等式に代入して確認します。

$\sqrt{2+3} < 2+1$

$\sqrt{5} < 3$

これは正しいです。

3. 最終的な答え

$x > 1$