与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\ -2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\

-2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -2 & 1 & 0

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかのステップを踏みます。

ステップ1: 行列の行または列を入れ替えます。

第3行と第4行を入れ替えることで、計算が楽になります。この操作により、行列式の符号が変わります。

$\begin{vmatrix}

2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\

-2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\

0 & 0 & -2 & 1 & 0

\end{vmatrix}$

元の行列式を$D$とすると、この行列の行列式は$-D$です。

ステップ2: 第3列を使って、第5行を簡約化します。

第5行に第3行の2倍を加えます。これにより、第5行の3列目の要素が0になります。この操作は行列式の値を変更しません。

$\begin{vmatrix}

2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\

-2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 0

\end{vmatrix}$

ステップ3: 第4行を使って、第5行を簡約化します。

第5行から第4行を引きます。

$\begin{vmatrix}

2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\

-2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 2

\end{vmatrix}$

ステップ4: 第3行に関して展開します。

$\begin{vmatrix}

2 & 1 & 4 & 8 & -5 \\

-2 & -2 & 5 & -5 & 5 \\

0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 2

\end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix}

2 & 1 & 8 & -5 \\

-2 & -2 & -5 & 5 \\

0 & 0 & 1 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 2

\end{vmatrix}$

ステップ5: 第3行に関して展開します。

$= 1 \times 1 \times \begin{vmatrix}

2 & 1 & -5 \\

-2 & -2 & 5 \\

0 & 0 & 2

\end{vmatrix}$

ステップ6: 第3行に関して展開します。

$= 1 \times 1 \times 2 \times \begin{vmatrix}

2 & 1 \\

-2 & -2

\end{vmatrix}$

$= 2 \times (2 \times (-2) - 1 \times (-2)) = 2 \times (-4 + 2) = 2 \times (-2) = -4$

この結果は、第3行と第4行を入れ替えた後の行列の行列式なので、元の行列式$D$は、

$D = -(-4) = 4$

3. 最終的な答え

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