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与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。

代数学行列式線形代数行列
2025/7/17

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた行列をAとします。
A=∣21000−2−20004801−2−55100−55−210∣ A = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 8 & 0 & 1 & -2 \\ -5 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ -5 & 5 & -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}
まず、1列目と2列目に関して、上から2x2の部分行列式を計算します。
∣21−2−2∣=2×(−2)−1×(−2)=−4+2=−2\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 2 \times (-2) - 1 \times (-2) = -4 + 2 = -2
したがって、行列式Aは次のように書き換えられます。
det(A)=∣21−2−2∣×∣01−2100−210∣ det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}
det(A)=−2×∣01−2100−210∣ det(A) = -2 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}
次に、3x3の行列式を展開します。2行目の1を使って展開すると、
∣01−2100−210∣=−1×∣1−210∣=−1×(1×0−(−2)×1)=−1×(0+2)=−2 \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \times \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \times (1 \times 0 - (-2) \times 1) = -1 \times (0+2) = -2
したがって、det(A)=−2×(−2)=4det(A) = -2 \times (-2) = 4

3. 最終的な答え

4

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