複素数 $\alpha$ について、$|\alpha| = 1$ のとき、$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$ が実数であることを証明する。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ について、$|\alpha| = 1$ のとき、$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$ が実数であることを証明する。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ が実数であるための必要十分条件は、$z = \overline{z}$ であることを利用する。

まず、与えられた式 $\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$ の共役複素数を求める。

$\overline{\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}} = \overline{\alpha^4} + \overline{\frac{1}{\alpha^4}}$

共役の性質から、$\overline{\alpha^4} = (\overline{\alpha})^4$ 、$\overline{\frac{1}{\alpha^4}} = \frac{1}{(\overline{\alpha})^4}$ である。

したがって、

$\overline{\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}} = (\overline{\alpha})^4 + \frac{1}{(\overline{\alpha})^4}$

ここで、$|\alpha| = 1$ であるから、$\alpha \overline{\alpha} = |\alpha|^2 = 1$ が成り立つ。

したがって、$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ である。

この式を上記の式に代入すると、

$\overline{\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}} = \left(\frac{1}{\alpha}\right)^4 + \frac{1}{\left(\frac{1}{\alpha}\right)^4} = \frac{1}{\alpha^4} + \alpha^4 = \alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$

$\overline{\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}} = \alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$ が示されたので、$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$ は実数である。

3. 最終的な答え

$\alpha^4 + \frac{1}{\alpha^4}$ は実数である。