放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $l$ が2点 A, B で交わっており、それらの $x$ 座標はそれぞれ -1, 5 である。原点 O を基準に、四角形 AOPQ が長方形となるように、放物線上に点 P を、直線 $l$ 上に点 Q をとる。 (1) 2点 A, B の座標と直線 $l$ の方程式を求める。 (2) 点 P, Q の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $l$ が2点 A, B で交わっており、それらの $x$ 座標はそれぞれ -1, 5 である。原点 O を基準に、四角形 AOPQ が長方形となるように、放物線上に点 P を、直線 $l$ 上に点 Q をとる。

(1) 2点 A, B の座標と直線 $l$ の方程式を求める。

(2) 点 P, Q の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 A の $x$ 座標は -1 なので、$y = \frac{1}{2}(-1)^2 = \frac{1}{2}$。したがって、点 A の座標は $(-1, \frac{1}{2})$。

点 B の $x$ 座標は 5 なので、$y = \frac{1}{2}(5)^2 = \frac{25}{2}$。したがって、点 B の座標は $(5, \frac{25}{2})$。

直線 $l$ は点 A と点 B を通るので、その方程式を $y = ax + b$ とおく。

点 A の座標を代入すると、$\frac{1}{2} = -a + b$。

点 B の座標を代入すると、$\frac{25}{2} = 5a + b$。

2つの式から $a$ と $b$ を求める。

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} = 5a - (-a)$ より、$\frac{24}{2} = 6a$。よって、$a = 2$。

$\frac{1}{2} = -2 + b$ より、$b = \frac{5}{2}$。

したがって、直線 $l$ の方程式は $y = 2x + \frac{5}{2}$。

(2)

四角形 AOPQ が長方形なので、点 P の $x$ 座標は点 A の $x$ 座標と等しく -1 となる。

点 P は放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上にあるので、点 P の座標は $(-1, \frac{1}{2})$。

点 Q の $x$ 座標は点 B の $x$ 座標と等しく 5 となる。

点 Q は直線 $l$ 上にあるので、$y = 2(5) + \frac{5}{2} = 10 + \frac{5}{2} = \frac{25}{2}$。

したがって、点 Q の座標は $(5, \frac{25}{2})$。

3. 最終的な答え

(1)

A の座標: $(-1, \frac{1}{2})$

B の座標: $(5, \frac{25}{2})$

直線 $l$ の方程式: $y = 2x + \frac{5}{2}$

(2)

P の座標: $(-1, \frac{1}{2})$

Q の座標: $(5, \frac{25}{2})$