$P = (p_1, p_2, p_3)$は正則行列である。$A = (p_1, p_2, p_1+p_2, -p_1-p_2)$, $b = p_1 + 3p_2$のとき、連立1次方程式$Ax = b$の解のパラメータ表示として、与えられた式が正しいかどうか判定する問題です。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3)$は正則行列である。$A = (p_1, p_2, p_1+p_2, -p_1-p_2)$, $b = p_1 + 3p_2$のとき、連立1次方程式$Ax = b$の解のパラメータ表示として、与えられた式が正しいかどうか判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A$と$x$を用いて、$Ax$を計算します。

$x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + p\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

とおくと、

$x = \begin{pmatrix} p-q \\ p-q \\ 1+2q \\ 1+p+q \end{pmatrix}$

となります。

$Ax = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3(p_1+p_2) + x_4(-p_1-p_2)$

$= (x_1 + x_3 - x_4)p_1 + (x_2 + x_3 - x_4)p_2$

$= (p - q + 1 + 2q - (1 + p + q))p_1 + (p - q + 1 + 2q - (1 + p + q))p_2$

$= (p - q + 1 + 2q - 1 - p - q)p_1 + (p - q + 1 + 2q - 1 - p - q)p_2$

$= 0p_1 + 0p_2 = 0$

となります。

しかし、$b = p_1 + 3p_2$なので、$Ax = b$を満たすためには、$x_1 + x_3 - x_4 = 1$かつ$x_2 + x_3 - x_4 = 3$である必要があります。

したがって、与えられた$x$は$Ax = b$を満たさないので、解のパラメータ表示として正しくありません。

ここで、$x=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$とすると、$Ax = 1p_1 + 3p_2 + 0(p_1+p_2) + 0(-p_1-p_2) = p_1 + 3p_2 = b$となり、$Ax=b$を満たします。

よって、特殊解$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$が存在します。

次に、$Ax = 0$の解を求めます。

$x_1 + x_3 - x_4 = 0$ かつ $x_2 + x_3 - x_4 = 0$ を満たす必要があります。

$x_1 = x_4 - x_3$, $x_2 = x_4 - x_3$

$x = \begin{pmatrix} x_4 - x_3 \\ x_4 - x_3 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = x_3 \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

解の一般形は$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

正しくない