正則行列 $P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ が与えられ、行列 $A = (p_1, -4p_1, p_2, 2p_1+p_2+p_3)$ とベクトル $b = -3p_1 - 2p_2 + 2p_3$ が与えられています。連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたものが正しいかどうかを判断する必要があります。 与えられたパラメータ表示は $\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, p, q \in \mathbb{R}$

1. 問題の内容

正則行列 $P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ が与えられ、行列 $A = (p_1, -4p_1, p_2, 2p_1+p_2+p_3)$ とベクトル $b = -3p_1 - 2p_2 + 2p_3$ が与えられています。連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたものが正しいかどうかを判断する必要があります。 与えられたパラメータ表示は

$\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, p, q \in \mathbb{R}$

2. 解き方の手順

与えられたパラメータ表示が正しいかどうかを検証するために、まず $A$ を $p_1, p_2, p_3, p_4$ を用いて書き換えます。

$A = (p_1, -4p_1, p_2, 2p_1+p_2+p_3)$

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とすると、$Ax = x_1p_1 - 4x_2p_1 + x_3p_2 + x_4(2p_1+p_2+p_3)$となります。

$Ax = (x_1 - 4x_2 + 2x_4)p_1 + (x_3 + x_4)p_2 + x_4p_3 = b = -3p_1 - 2p_2 + 2p_3$となるためには、

$x_1 - 4x_2 + 2x_4 = -3$

$x_3 + x_4 = -2$

$x_4 = 2$

となる必要があります。

このとき、

$x_3 = -2 - x_4 = -2 - 2 = -4$

$x_1 - 4x_2 + 2(2) = -3 \implies x_1 - 4x_2 = -7 \implies x_1 = 4x_2 - 7$

したがって、解は

$x = \begin{pmatrix} 4x_2 - 7 \\ x_2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 0 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

与えられた解のパラメータ表示は、

$\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 2 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

これは解のパラメータ表示になっていないため、正しくありません。

3. 最終的な答え

正しくない。