与えられた二次方程式 $3x^2 - 7(x+2) = 46$ の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた二次方程式 $3x^2 - 7(x+2) = 46$ の解を求める。

2. 解き方の手順

まず、方程式を展開し、整理する。

$3x^2 - 7x - 14 = 46$

次に、右辺の定数を左辺に移項して、

$3x^2 - 7x - 14 - 46 = 0$

$3x^2 - 7x - 60 = 0$

この二次方程式を解くために、解の公式を用いるか、因数分解を試みる。

因数分解を試みる。

$(3x + a)(x + b) = 3x^2 + (3b + a)x + ab = 3x^2 - 7x - 60$ となる $a$ と $b$ を見つける。

$3b + a = -7$

$ab = -60$

$a = -20$、$b = \frac{-60}{-20} = 3$ とすると $3b + a = 3(3) - 20 = 9 - 20 = -11$ となり一致しない。

$a = 20$、$b = -3$とすると $3b + a = 3(-3) + 20 = -9 + 20 = 11$ となり一致しない。

因数分解できない場合は、解の公式を使用する。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 3$, $b = -7$, $c = -60$ なので、

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(3)(-60)}}{2(3)}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 720}}{6}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{769}}{6}$

ここで、$769$ は平方数ではないので、解は

$x = \frac{7 \pm \sqrt{769}}{6}$となる。

しかし、問題文に「解を求めなさい。」と書いてあるので、$\sqrt{ }$の中に整数が残ることは考えにくい。

なので、計算間違いがないか確認する。

$3x^2 - 7x - 14 = 46$

$3x^2 - 7x - 60 = 0$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(3)(-60)}}{2(3)}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 720}}{6}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{769}}{6}$

やはり計算間違いはない。

因数分解をもう一度試みる。

$3x^2 - 7x - 60 = 0$

$(ax + b)(cx + d) = 0$

$ac = 3$, $bd = -60$, $ad + bc = -7$

$a = 3$, $c = 1$

$(3x + b)(x + d) = 0$

$3d + b = -7$

$bd = -60$

$d = -5$, $b = 8$とすると、$3(-5) + 8 = -15 + 8 = -7$

$8(-5) = -40 \neq -60$

$d = 4$, $b = -19$とすると、$3(4) + (-19) = 12 - 19 = -7$

$(-19)(4) = -76 \neq -60$

因数分解を諦めて解の公式を使うことにする。

$3x^2 - 7x - 60 = 0$

$a = 3$, $b = -7$, $c = -60$

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(3)(-60)}}{2(3)}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 720}}{6}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{769}}{6}$

やはり$\sqrt{769}$となる。

しかし問題文に「解を求めなさい。」と書いてある以上、このように$\sqrt{}$が残ることは想定されていない。

おそらく問題文が間違っているか、問題が間違っている。

仮に、問題が $3x^2 - 17x - 20 = 0$ だとすると

$(3x + 3)(x - 4) = 3x^2 - 12x + 3x - 12$となり違う。

$3x^2 - 17x + 20 = 0$

$(3x - 5)(x - 4) = 3x^2 -12x - 5x + 20 = 3x^2 - 17x + 20$

$x = \frac{5}{3}$, $x = 4$

3. 最終的な答え

$x = \frac{7 \pm \sqrt{769}}{6}$

ただし、問題文が間違っている可能性あり。