問題は以下の3つです。 * 問題4.1: 整式 $A(x) = x^6$ を整式 $B(x) = x^3 + x + 1$ で割った余りを求める。 * 問題4.2: 整式 $A(x) = x^5 - 3x^3 + 4x - 7$ を整式 $B(x) = x - 2$ で割った余りを求める。 * 問題4.3: 方程式 $x^4 - 2x^2 + 3x - 2 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

問題は以下の3つです。

* 問題4.1: 整式 $A(x) = x^6$ を整式 $B(x) = x^3 + x + 1$ で割った余りを求める。

* 問題4.2: 整式 $A(x) = x^5 - 3x^3 + 4x - 7$ を整式 $B(x) = x - 2$ で割った余りを求める。

* 問題4.3: 方程式 $x^4 - 2x^2 + 3x - 2 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

* 問題4.1:

$x^6$ を $x^3 + x + 1$ で割った余りを求める。

$x^3 = -x - 1$ であるから、$x^6 = (x^3)^2 = (-x - 1)^2 = x^2 + 2x + 1$。

したがって、余りは $x^2 + 2x + 1$ である。

* 問題4.2:

剰余の定理より、$A(x)$ を $x - 2$ で割った余りは $A(2)$ である。

$A(2) = 2^5 - 3(2^3) + 4(2) - 7 = 32 - 24 + 8 - 7 = 9$。

したがって、余りは $9$ である。

* 問題4.3:

$x^4 - 2x^2 + 3x - 2 = 0$ を解く。

この方程式の解を求めるために、因数定理を試す。$P(x) = x^4 - 2x^2 + 3x - 2$ とおく。

$P(1) = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$ なので、$x - 1$ は因数である。

多項式を $x - 1$ で割ると、

$x^4 - 2x^2 + 3x - 2 = (x - 1)(x^3 + x^2 - x + 2)$

次に、$x^3 + x^2 - x + 2 = 0$ を解く。$Q(x) = x^3 + x^2 - x + 2$ とおく。

$Q(-2) = -8 + 4 + 2 + 2 = 0$ なので、$x + 2$ は因数である。

多項式を $x + 2$ で割ると、

$x^3 + x^2 - x + 2 = (x + 2)(x^2 - x + 1)$

したがって、$x^4 - 2x^2 + 3x - 2 = (x - 1)(x + 2)(x^2 - x + 1) = 0$

$x^2 - x + 1 = 0$ を解くと、$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、解は $x = 1, -2, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$ である。

3. 最終的な答え

* 問題4.1: $x^2 + 2x + 1$

* 問題4.2: $9$

* 問題4.3: $x = 1, -2, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$