A1の(1)から(5)までの問題を解きます。 (1) $ax^2 + 2ax + x + 2$ を因数分解する。 (2) 不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ の解を求め、 $A = \{x | -8 \le 3x - 5 \le 4\}$、$B = \{x | x \ge a\}$ とする。$A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲を求める。 (3) 2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ のグラフの軸と、最小値が $\frac{1}{2}$ であるときの $a$ の値を求める。 (4) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\cos\theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ を求める。 (5) 24人の生徒に行った数学のテストの得点の箱ひげ図から、四分位範囲を求め、箱ひげ図から読み取れる内容として必ず正しいものを選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

A1の(1)から(5)までの問題を解きます。

(1) $ax^2 + 2ax + x + 2$ を因数分解する。

(2) 不等式 $-8 \le 3x - 5 \le 4$ の解を求め、 $A = \{x | -8 \le 3x - 5 \le 4\}$、$B = \{x | x \ge a\}$ とする。$A \subset B$ となるような $a$ の値の範囲を求める。

(3) 2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ のグラフの軸と、最小値が $\frac{1}{2}$ であるときの $a$ の値を求める。

(4) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\cos\theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ を求める。

(5) 24人の生徒に行った数学のテストの得点の箱ひげ図から、四分位範囲を求め、箱ひげ図から読み取れる内容として必ず正しいものを選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

$ax^2 + 2ax + x + 2 = ax(x + 2) + (x + 2) = (ax + 1)(x + 2)$

(2)

$-8 \le 3x - 5 \le 4$

$-8 + 5 \le 3x \le 4 + 5$

$-3 \le 3x \le 9$

$-1 \le x \le 3$

したがって、$A = \{x | -1 \le x \le 3\}$

$A \subset B$ となるためには、$a \le -1$ である必要がある。

(3)

$f(x) = 2x^2 - 6x + a = 2(x^2 - 3x) + a = 2(x - \frac{3}{2})^2 - 2(\frac{3}{2})^2 + a = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + a$

軸は $x = \frac{3}{2}$

最小値は $-\frac{9}{2} + a = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

(4)

$\cos\theta = -\frac{3}{5}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、$\sin\theta \ge 0$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$

(5)

四分位範囲は第3四分位数 - 第1四分位数。箱ひげ図より、$Q_3 = 77$、$Q_1 = 55$ なので、四分位範囲は $77 - 55 = 22$

選択肢：

1. 40点以上50点未満の生徒はちょうど6人いる

2. 50点以上の生徒は18人以上いる

3. 70点以上の生徒は12人以上いる

4. 80点以上の生徒はちょうど6人いる

箱ひげ図より、24人のうち75%は55点以上、25%は77点以上と分かる。中央値は67点。

2.について、24人の75%は18人なので50点以上の生徒は18人以上いる。これが正しい。

３.について、25％は77点以上だから、6人以上。

４．について、24人のうち、最大値は95点。第3四分位は77点。したがって80点以上の生徒は分からない。

3. 最終的な答え

(1) (ア) $(ax + 1)(x + 2)$

(2) (イ) $-1 \le x \le 3$、(ウ) $a \le -1$

(3) (エ) $x = \frac{3}{2}$、(オ) $a = 5$

(4) (カ) $\sin\theta = \frac{4}{5}$、(キ) $\tan\theta = -\frac{4}{3}$

(5) (ク) $22$、(ケ) $2$