問題4は、体$X$において、加法に関する逆元がただ一つに決まることを、背理法を用いて証明する過程の穴埋め問題です。$x \in X$に対して、逆元が複数個存在すると仮定し、そのうちの二つを$x'_1$, $x'_2$ ($x'_1 \neq x'_2$) と仮定します。証明の各ステップにおける体の定義における性質を答えます。

1. 問題の内容

問題4は、体$X$において、加法に関する逆元がただ一つに決まることを、背理法を用いて証明する過程の穴埋め問題です。$x \in X$に対して、逆元が複数個存在すると仮定し、そのうちの二つを$x'_1$, $x'_2$ ($x'_1 \neq x'_2$) と仮定します。証明の各ステップにおける体の定義における性質を答えます。

2. 解き方の手順

各行の等式が成り立つ理由を、体の公理から探します。

* 1行目: $x'_1 = x'_1 + e$

これは、$e$ が加法単位元であることから、$x'_1 + e = x'_1$ が成り立つためです。加法単位元の定義です。

* 2行目: $x'_1 + (x + x'_2)$

$x'_2$ が $x$ の逆元であることから、$x + x'_2 = e$ が成り立ちます。

* 3行目: $(x'_1 + x) + x'_2$

加法の結合法則より、$a + (b + c) = (a + b) + c$ が成り立ちます。

* 4行目: $(x + x'_1) + x'_2$

加法の交換法則より、$a + b = b + a$ が成り立ちます。

* 5行目: $e + x'_2$

$x'_1$ が $x$ の逆元であることから、$x + x'_1 = e$ が成り立ちます。

* 6行目: $x'_2 + e$

加法の交換法則より、$e + x'_2 = x'_2 + e$ が成り立ちます。

* 7行目: $x'_2$

$e$ が加法単位元であることから、$x'_2 + e = x'_2$ が成り立ちます。加法単位元の定義です。

3. 最終的な答え

⑦ 加法単位元の定義

　⑧ 逆元の定義

　⑨ 加法の結合法則

　⑩ 加法の交換法則

　⑪ 逆元の定義

　⑫ 加法の交換法則

　⑬ 加法単位元の定義