$X$ を体とする。加法に関する逆元がただ一つに決まることを、背理法を用いて証明する。証明の各ステップで使用する体の定義における性質を答える。

1. 問題の内容

$X$ を体とする。加法に関する逆元がただ一つに決まることを、背理法を用いて証明する。証明の各ステップで使用する体の定義における性質を答える。

2. 解き方の手順

背理法を用いるため、まず $x$ に対して逆元が複数存在すると仮定する。そのうちの二つを $x_1'$ と $x_2'$ ($x_1' \neq x_2'$) とする。

以下のように式変形を行い、矛盾を導く。

1. $x_1' = x_1' + e$ (ア)

加法単位元 $e$ の定義より、$x_1' + e = x_1'$ が成り立つ。

2. $x_1' = x_1' + (x + x_2')$ (イ)

$x_2'$ は $x$ の逆元であるから、$x + x_2' = e$ が成り立つ。したがって、$x_1' = x_1' + e = x_1' + (x + x_2')$。

3. $x_1' + (x + x_2') = (x_1' + x) + x_2'$ (ウ)

加法の結合法則より、$x_1' + (x + x_2') = (x_1' + x) + x_2'$。

4. $(x_1' + x) + x_2' = (x + x_1') + x_2'$ (エ)

加法の交換法則より、$x_1' + x = x + x_1'$。したがって、$(x_1' + x) + x_2' = (x + x_1') + x_2'$。

5. $(x + x_1') + x_2' = e + x_2'$ (オ)

$x_1'$ は $x$ の逆元であるから、$x + x_1' = e$ が成り立つ。

6. $e + x_2' = x_2' + e$ (カ)

加法単位元$e$に関する交換法則が成り立つ。$e + x_2' = x_2' + e$

7. $x_2' + e = x_2'$ (キ)

加法単位元 $e$ の定義より、$x_2' + e = x_2'$ が成り立つ。

以上より、$x_1' = x_2'$ となり、$x_1' \neq x_2'$ という仮定に矛盾する。したがって、加法に関する逆元は一意に決まる。

3. 最終的な答え

ア：加法単位元の定義

イ：逆元の定義

ウ：加法の結合法則

エ：加法の交換法則

オ：逆元の定義

カ：加法単位元に関する交換法則

キ：加法単位元の定義